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Parallelogramm - Flächeninhalt und Umfang berechnen

Geometrie / Flächeninhalt und Umfang einfacher geometrischer Figuren

Bei einem Parallelogramm funktionieren die Methoden, die du beim Rechteck kennengelernt hast, nicht mehr. Und das, obwohl das Parallelogramm auch zur Familie der Vierecke gehört. Schauen wir uns zunächst an, was ein Parallelogramm überhaupt ist. Ein Parallelogramm ist wie ein Rechteck, dessen Ecken auf der linken und rechten Seite nicht genau übereinander liegen, sondern um eine bestimmte Länge versetzt sind. Diese Verzerrung kann stärker oder schwächer sein oder - wie im Falle des Rechtecks - einfach nicht vorhanden. Tatsächlich ist das Rechteck also ein Spezialfall des Parallelogramms.

Parallelogramm

Wie berechnet man den Umfang eines Parallelogramms?

Den Umfang können wir durch ganz normales Addieren der Seitenlängen errechnen.

Merke

Für den Umfang $U$ eines Parallelogramms gilt:

$U = 2\cdot (a + b)$

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms?

Wie errechnen wir aber jetzt den Flächeninhalt? Da die Seitenkanten schräg sind, können wir nicht einfach, wie bei den Rechtecken, die Breite mit der Höhe multiplizieren.

Du hast eben schon gelesen, dass man in solchen Fällen zunächst versucht, die Figur in Rechtecke zu zerlegen. Das Parallelogramm lässt sich aber nicht in Form von Rechtecken darstellen.

Rechteck im Parallelogramm
Rechteck im Parallelogramm

Allerdings können wir das Parallelogramm auseinander schneiden und neu zusammensetzen. Dabei entsteht ein Rechteck, dessen Kantenlänge $a$ und dessen Höhe die Höhe des abgeschnittenen Dreiecks ist ($h$).

Flächeninhalt eines Parallelogramms
Transformation vom Parallelogramm zum Rechteck (h entspricht in dem Fall hb)

Nach dieser Umformung des Parallelogramms können wir auch wieder den Flächeninhalt errechnen,wie wir es eben schon gelernt haben. Wichtig ist dabei, dass du niemals ein Parallelogramm zu einem Rechteck umformst, um den Umfang zu berechnen. Durch die Transformation ändert sich zwar nicht der Flächeninhalt, aber der Umfang.

Merke

Für den Flächeninhalt $A$ eines Parallelogramms gilt:

$A= b\cdot h_{b}$

Dabei entspricht $h_{b}$ der Höhe des abgeschnittenen Dreiecks auf die Seite $b$.

$b$ entspricht wiederum der Seitenlänge, die sich nicht ändert.

Parallelogramm - Unterschiedliche Höhe h

Bei der Bezeichnung der Höhe musst du sehr aufpassen. In unseren Beispielen haben wir immer nur die Höhe betrachtet, die auf die Seite $b$ fällt. Genauso gibt es aber auch eine Höhe, die auf die Seite $a$ fallen kann.

Parallelogramm mit der Höhe ha
Parallelogramm mit der Höhe ha

In diesem Fall berechnest du den Flächeninhalt natürlich auch mit der Seitenlänge von $a$:

$A= a\cdot h_{a}$

Du musst also darauf achten, dass die Seitenlänge dieselbe ist, auf die auch die Höhe fällt.

 

Vertiefe das Wissen zu den Berechnungen am Parallelogramm jetzt in den Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!