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Vektorprodukt / Kreuzprodukt

Weitere Rechenoperationen mit Vektoren

Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.

Merke

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Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.

Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ist wieder ein Vektor! Dieser hat zudem die tolle Eigenschaft ein Normalenvektor zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zu sein. Das ist eine Bedeutung des Kreuzprodukts, die sehr häufig angewandt werden kann.

Berechnung des Kreuzproduktes zweier Vektoren

Wie die Berechnung des Vektorprodukts ganz einfach durchgeführt werden kann, zeigt folgendes Video:

Das Ergebnis ist eine Fläche?

Doch es geht noch weiter: Stellt man sich ein Parallelogramm vor, das von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird, so entspricht der Betrag des Kreuzprodukts dem Flächeninhalt des Parallelogrammes.

Beispiel

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Finde einen zu $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$ orthogonalen Vektor.
Da die Formel für das Kreuzprodukt auf den ersten Blick etwas schwierig (und nicht einfach zu merken) wirkt, hilft vielleicht folgende Vorgehensweise bei der Berechnung: Wir schreiben die Einträge der Vektoren einfach zweimal untereinander und streichen die erste und letzte Zeile. Dann multiplizieren wir immer zwei Einträge „über Kreuz“ und subtrahieren die umgekehrte Richtung...
$ \begin{matrix} 1&2\\2&1\\3&0\\1&2\\2&1\\ 3&0 \end{matrix} $, daraus wird $ \begin{matrix} 2&1\\3&0\\1&2\\2&1 \end{matrix} $ und es ergibt sich $\begin{matrix}2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \end{matrix} = \begin{matrix} 0-3 \\ 6-0 \\ 1-4 \end{matrix} = \begin{matrix} -3\\6\\-3 \end{matrix}$.
Der Vektor $\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}$ steht also senkrecht auf den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (was man leicht durch Anwendung des Skalarprodukts verifizieren kann!).
Anmerkung: Selbstverständlich hat auch jedes Vielfache von $\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}$ die gewünschte Eigenschaft. Häufig ist es nämlich sinnvoll, mit einem möglichst "einfachen" Vektor weiterzurechnen. Hier könnte man beispielsweise auch $\begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix}$ als Normalenvektor nehmen.

Beispiel

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Die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$ spannen ein Parallelogramm auf. Bestimme seinen Flächeninhalt.
Auch hier verwenden wir das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$, dessen Lösung $\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}$ wir von eben schon kennen. Den gesuchten Flächeninhalt des Parallelogrammes erhalten wir, indem wir den Betrag des Lösungsvektors berechnen:
$|\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}| = \sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7,35$. Das Parallelogramm hat also etwa einen Flächeninhalt von 7,35 FE.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
      • Abstände von Punkten
      • Abstände von Geraden
      • Abstände von Ebenen
  • Schnitte
    • Einleitung zu Schnitte
    • Schnitt Gerade-Gerade
    • Schnitt Ebene-Gerade
    • Schnitt Ebene-Ebene
  • Spiegelungen
    • Einleitung zu Spiegelungen
    • Spiegelung an einem Punkt
    • Spiegelung an einer Geraden
    • Spiegelung an einer Ebene
  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
    • Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    • Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Einleitung zu Lösen eines linearen Gleichungssystems
      • Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
      • Gauß-Verfahren
      • Lösungsmöglichkeiten
  • Matrizen
    • Einleitung zu Matrizen
    • Darstellung in Matrizenform
    • Besondere Matrizen
      • Einleitung zu Besondere Matrizen
      • Einheitsmatrix
      • Dreiecksmatrix
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  • Rechenregeln für Matrizen
    • Einleitung zu Rechenregeln für Matrizen
    • Addition von Matrizen
    • Vervielfachen von Matrizen
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  • Anwendungen von Matrizen
    • Einleitung zu Anwendungen von Matrizen
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      • Einleitung zu Verflechtungsmatrizen
      • Beschreibung Verflechtungsmatrix
      • Anwendungsbeispiel Verflechungsmatrix
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      • Einleitung zu Übergangsmatrizen
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