Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Eine weitere Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren ist das Vektorprodukt, welches häufig auch Kreuzprodukt genannt wird.
Merke
Das Vektorprodukt der Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}$ wird berechnet durch $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 – a_3 b_2 \\ a_3 b_1 – a_1 b_3 \\ a_1 b_2 – a_2 b_1 \end{pmatrix}$.
Das Ergebnis des Vektorprodukts $\vec{a} \times \vec{b}$ ist wieder ein Vektor! Dieser hat zudem die tolle Eigenschaft ein Normalenvektor zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zu sein. Das ist eine Bedeutung des Kreuzprodukts, die sehr häufig angewandt werden kann.
Berechnung des Kreuzproduktes zweier Vektoren
Wie die Berechnung des Vektorprodukts ganz einfach durchgeführt werden kann, zeigt folgendes Video:
Das Ergebnis ist eine Fläche?
Doch es geht noch weiter: Stellt man sich ein Parallelogramm vor, das von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird, so entspricht der Betrag des Kreuzprodukts dem Flächeninhalt des Parallelogrammes.
Beispiel
Finde einen zu $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$ orthogonalen Vektor.
Da die Formel für das Kreuzprodukt auf den ersten Blick etwas schwierig (und nicht einfach zu merken) wirkt, hilft vielleicht folgende Vorgehensweise bei der Berechnung: Wir schreiben die Einträge der Vektoren einfach zweimal untereinander und streichen die erste und letzte Zeile. Dann multiplizieren wir immer zwei Einträge „über Kreuz“ und subtrahieren die umgekehrte Richtung...
$ \begin{matrix} 1&2\\2&1\\3&0\\1&2\\2&1\\ 3&0 \end{matrix} $, daraus wird $ \begin{matrix} 2&1\\3&0\\1&2\\2&1 \end{matrix} $ und es ergibt sich $\begin{matrix}2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \end{matrix} = \begin{matrix} 0-3 \\ 6-0 \\ 1-4 \end{matrix} = \begin{matrix} -3\\6\\-3 \end{matrix}$.
Der Vektor $\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}$ steht also senkrecht auf den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ (was man leicht durch Anwendung des Skalarprodukts verifizieren kann!).
Anmerkung: Selbstverständlich hat auch jedes Vielfache von $\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}$ die gewünschte Eigenschaft. Häufig ist es nämlich sinnvoll, mit einem möglichst "einfachen" Vektor weiterzurechnen. Hier könnte man beispielsweise auch $\begin{pmatrix}1\\-2\\1 \end{pmatrix}$ als Normalenvektor nehmen.
Beispiel
Die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$ und $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}$ spannen ein Parallelogramm auf. Bestimme seinen Flächeninhalt.
Auch hier verwenden wir das Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$, dessen Lösung $\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}$ wir von eben schon kennen. Den gesuchten Flächeninhalt des Parallelogrammes erhalten wir, indem wir den Betrag des Lösungsvektors berechnen:
$|\begin{pmatrix}-3\\6\\-3 \end{pmatrix}| = \sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} = \sqrt{54} \approx 7,35$. Das Parallelogramm hat also etwa einen Flächeninhalt von 7,35 FE.
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