Ausmultiplizieren: Wie löst man Gleichungen mit Klammern?
In der Regel werden Klammern immer innerhalb einer Addition, Subtraktion oder Multiplikation angewendet. Um diese Terme und Gleichungen zusammenfassen zu können, müssen die Klammern zunächst aufgelöst werden. Wie das Rechnen mit Klammern im Detail funktioniert, schauen wir uns im Folgenden an.
Wie löst man Gleichungen mit Klammern auf?
Um Gleichungen mit Klammern auflösen zu können, verwenden wir bestimmte mathematische Regeln. Dabei können wir folgende Fälle berechnen:
Hinweis
- Pluszeichen vor der Klammer
- Minuszeichen vor der Klammer
- Faktor vor der Klammer
- Mulitplikation zweier oder mehrerer Klammern
Nun schauen wir uns die einzelnen Fälle und ihre jeweiligen Regeln genauer an:
Auflösen der Plusklammer - So geht's!
Die einfachste Form eines Terms mit Klammern ist, wenn vor der Klammer ein Pluszeichen steht:
$+(a +b)=+ a + b = a + b$
$+(a - b) = + a - b = a - b$
$+ (a\cdot b) = + a \cdot b = a \cdot b$
Wie du siehst, kannst du in diesen Fällen die Klammern einfach wegnehmen, egal welche Rechnung in der Klammer steht.
Beispiel
$+ (5 + x) = 5 + x$
$+ (x - 3) = x - 3$
$+ (7 \cdot x) = 7 \cdot x$
Auflösen der Minusklammer - So geht's!
Beim Auflösen von Klammern, deren Vorzeichen ein Minus ist, musst du ein wenig aufpassen:
$ - (a + b) = - a - b$
$ - (a - b) = - a + b$
Methode
Hier greifen beim Ausklammern die ganz normalen Regeln zum Rechnen mit negativen Zahlen:
(1) minus auf plus ergibt minus
(2) minus auf minus ergibt plus
Beispiel
$- (3 + x) = - 3 - x$
$- (5 - x) = - 5 + x$
Welche Bedeutung hat der Faktor vor der Klammer?
Ist die Klammer Teil eines Produktes, musst du auf mehr als nur das Vorzeichen achten. Steht vor der Klammer ein Faktor, so wird beim Auflösen der Klammer jede Zahl in der Klammer mit diesem Faktor multipliziert.
$a \cdot (b + c) = a\cdot b + a \cdot c$
$a \cdot (b - c) = a\cdot b - a\cdot c$
$- a \cdot (b + c) = - a \cdot b - a\cdot c$
$- a \cdot (b - c) = - a \cdot b + a\cdot c$
Beispiel
$- 3 \cdot (x + 5) = -3 \cdot x - 15$
$- 2 \cdot (13 - x) = - 26 + 2\cdot x$
$9 \cdot (x + 2) = 9 \cdot x + 18$
Wie geht das Klammern ausmultiplizieren?
Etwas schwieriger wird es, wenn vor der Klammer nicht nur ein Faktor steht, sondern noch eine weitere Klammer. Um die Klammern aufzulösen, musst du nun die Klammern ausmultiplizieren, indem du jede Zahl der einen Klammer mit jeder Zahl der anderen Klammer multiplizierst.
$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{blue}{b}) \cdot (\textcolor{red}{c} + \textcolor{red}{d}) = (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{c}) + (\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{red}{d}) + (\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{red}{c}) + (\textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{d})$
Natürlich spielen auch in diesem Fall die Vorzeichen eine wichtige Rolle. Schauen wir uns an, was passiert, wenn wir Plus- und Minuszeichen in den Klammern variieren.
- $(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{blue}{b}) \cdot (\textcolor{red}{c} - \textcolor{red}{d}) = (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{c}) - (\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{red}{d}) + (\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{red}{c}) - (\textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{d})$
- $(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{blue}{b}) \cdot (\textcolor{red}{c} + \textcolor{red}{d}) = (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{c}) + (\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{red}{d}) - (\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{red}{c}) - (\textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{d})$
- $(\textcolor{blue}{a} - \textcolor{blue}{b}) \cdot (\textcolor{red}{c} - \textcolor{red}{d}) = (\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{c}) - (\textcolor{blue}{a}\cdot \textcolor{red}{d}) - (\textcolor{blue}{b}\cdot \textcolor{red}{c}) + (\textcolor{blue}{b} \cdot \textcolor{red}{d})$
Methode
Das Ausmultiplizieren zweier Klammern folgt diesen Vorzeichenregeln:
- $(+) \cdot (+) = (+)$
- $(+) \cdot (-) = (-)$
- $(-) \cdot (+) = (-)$
- $(-) \cdot (-) = (+)$
Beispiel
$(3+x) \cdot (x-2) = (3 \cdot x) - (2 \cdot 3) + (x \cdot x) - (x \cdot 2) = 3\cdot x - 6 + x^2 - 2\cdot x$
$(-4+z)\cdot (9+z) = (-4 \cdot 9) -(4 \cdot z) + (z \cdot 9) + (z \cdot z) = -36 - 4\cdot z + 9\cdot z + z^2$
$(10-y) \cdot (y-7) = (10 \cdot y) - (10 \cdot 7) - (y \cdot y) + (y \cdot 7) = 10\cdot y - 70 - y^2 + 7\cdot y$
Gleichung durch Ausklammern lösen - Aufgabe mit Lösungsweg
Mit diesen Regeln im Hinterkopf schauen wir uns nun folgende Aufgabe an:
$6 \cdot (5 \cdot x -2) = 14 - (10\cdot x - 14)$
Dabei haben wir auf der linken Seite eine Klammer, die Teil eines Produktes ist. Wir müssen also die Klammer auflösen, indem wir sie ausmultiplizieren.
$6 \cdot (5 \cdot x -2) = 14 - (10\cdot x - 14)$
$6 \cdot 5 \cdot x - 6 \cdot 2 = 14 - (10\cdot x - 14)$
$30 \cdot x - 12 = 14 - (10\cdot x - 14)$
Auf der rechten Seite haben wir ein Minus vor der Klammer. Wir müssen also darauf achten, welches Vorzeichen die einzelnen Werte beim Auflösen der Klammer erhalten.
$30 \cdot x - 12 = 14 - 10\cdot x + 14$
Von jetzt an kannst du die Gleichung wieder wie gewohnt lösen, indem du zunächst die Variable auf eine Seite und die Zahlen auf die andere Seite bringst. Probiere es zunächst selber, bevor du die Lösung aufklappst!
Vertiefung
Lösung
$30 \cdot x - 12 = 14 - 10\cdot x + 14$
$30 \cdot x - 12 = 14 - 10\cdot x + 14 | + 10\cdot x $
$40 \cdot x - 12 = 14 + 14 | + 12 $
$40 \cdot x = 40 $ | : 40
$x = 1$
Teste dein neu erlerntes Wissen über das Ausklammern und Ausmultiplizieren mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!
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