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Der Kreis - Geraden, Strecken, Winkel einfach erklärt

Geometrie
Berechnungen am Kreis

Video: Der Kreis - Geraden, Strecken, Winkel einfach erklärt

In diesem Text erklären wir dir, wie verschiedene Geraden und Strecken am Kreis benannt werden und wie die Länge des Kreisbogens berechnet wird.

Wie heißen Geraden und Strecken am Kreis?

Geraden können im Bezug auf einen Kreis verschieden liegen. Sie können ihn schneiden, an ihm vorbeilaufen oder ihn berühren. Je nach Lage der Gerade wird diese anders bezeichnet. Schauen wir uns dies in der nachfolgenden Abbildung an:

geraden_kreis
Abbildung: Kreis mit Geraden, die verschieden liegen

Sekante 

Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten. 

Zentrale

Eine Zentrale schneidet, wie eine Sekante, den Kreis in zwei Punkten. Doch die Besonderheit einer Zentralen ist es, dass sie durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Tangente

Eine Tangente berührt den Kreis nur an einem Punkt, sie streift den Kreis sozusagen. Den Punkt, an dem sich der Kreis und die Gerade berühren, nennt man Berührungspunkt.
Die Strecke zwischen dem Mittelpunkt und dem Berührungspunkt bildet mit der Tangente einen rechten Winkel.

Beispiel

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Konstruktion einer Tangente

1. Den Mittelpunkt und den Berührungspunkt verbinden.

tangente_konstruieren_1
Abbildung: Kreis mit Gerade durch Mittelpunkt und Berührungspunkt

2. Am Berührungspunkt wird nun die Tangente eingezeichnet. Sie muss mit der zuvor eingezeichneten Gerade einen rechten Winkel bilden. Dafür legst du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade. Und zeichnest eine Linie, die durch den Berührungspunkt vorläuft, ein.

tangente_konstruieren_2
Abbildung: Tangente eingezeichnet

Passante

Eine Passante schneidet oder berührt den Kreis nicht.

Wo ist der Unterschied zwischen Gerade und Strecke?

Hinweis

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Eine Gerade hat kein Ende und keinen Anfang. Sie ist unendlich lang!

Eine Strecke hingegen hat einen Anfang und auch ein Ende. Aus diesem Grund kann die Länge einer Strecke berechnet werden.

Wie werden Strecken im Kreis bezeichnet?

Auch Strecken haben je nach der Lage im Kreis verschiedene Bezeichnungen:

strecken_kreis
Abbildung: Bezeichnungen Strecken im Kreis

Wie groß sind Winkel im Kreis?

Um die Größe eines Winkels im Kreis zu messen, sollte zunächst klar sein, dass ein Vollkreis, also eine Drehung einmal herum, $360^\circ$ groß ist. Kreisausschnitte besitzen dann jeweils nur einen Teil des $360^\circ$ großen Winkels. Es wird also nicht einmal ganz herumgedreht, sondern es wird eine Teildrehung betrachtet.

winkel_kreis
Abbildung: Winkel vom Kreis und von Kreisausschnitten

Der Teil des Umfangs von dem Kreisausschnitt wird Kreisbogen genannt.

kreisbogen
Abbildung: Kreisbogen

Wie berechnent man Umfang und Kreisbogen eines Kreises?

Wie können wir die Länge des Kreisbogens mit der Winkelangabe berechnen. Schauen wir uns dies hier an:

Beispiel

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Der Kreisbogen ist ein Teil des Umfangs eines Kreises. Der Umfang wird mit der Formel: $ U = \pi \cdot d$ (d: Durchmesser) berechnet.

Der Winkel $\beta$ ist $115.2^\circ$ groß und der Radius beträgt $5 cm$. Berechnen wir zunächst den Umfang des ganzen Kreises:
$ U = \pi \cdot d = \pi \cdot 2\cdot r = \pi \cdot 10 cm \approx 31,42 cm$ .

Nun brauchen wir den Teil, der $115,2 ^\circ$ groß ist. Um den Anteil des Bogens am Gesamtkreisumfang zu berechnen, müssen wir den Winkel durch $360^\circ$ teilen.

$Anteil = \frac{115,2 ^\circ}{360^\circ}= 0,32$

Nun muss der Anteil mal dem Umfang gerechnet werden und wir erhalten die Länge des Kreisbogens.
$Kreisbogen = 0,32 \cdot 31,42 cm\approx 10,05 cm$

Daraus können wir eine allgemein gültige Formel ableiten:

Merke

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Formeln

Umfang:

$U = \pi \cdot d$

Kreisbogen:

$k = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $

Mit den Übungsaufgaben kannst du das Berechnen von Kreisbogen und die Benennung von Geraden am Kreis einüben. Viel Erfolg dabei!

Lückentext
Berechne die Größe des Winkels!
Kreisbogenlänge: $5 cm$
Radius: $1 cm$

Die Formel $k = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $ kann nach $\alpha$ umgestellt werden.
$k = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi \cdot d $    |$:\pi \cdot d$
$\frac{k}{\pi \cdot d} = \frac{\alpha}{360^\circ}$ |$: \cdot 360^\circ$
$\frac{k\cdot 360^\circ}{\pi \cdot d}= \alpha$

Setzen wir die Kreisbogenlänge = 5 cm und den Durchmesser = cm in die Formel ein.
$\alpha = \frac{5cm \cdot 360 ^\circ}{\pi \cdot 2 cm} = $ $: 6,28 \approx$ $^\circ$.
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