Abstände von Geraden
Abstandsprobleme
Abstand zweier paralleler Geraden g und h
Man nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.
Abstand zweier windschiefer Geraden g und h
Der anspruchsvollste (und am seltensten gefragte) Fall. Hierbei müssen wir die Punkte G auf g und H auf h suchen, an denen sich die Geraden am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor $\overrightarrow{GH}$ sowohl senkrecht zur Geraden g als auch zur Geraden h steht. Es gilt also $\overrightarrow{GH} \cdot \vec{u} = 0$ und $\overrightarrow{GH} \cdot \vec{v} = 0$.
Setzen wir für G und H die allgemeinen Koordinaten aus den Geradengleichungen ein, ergibt sich ein LGS, das im Falle windschiefer Geraden eindeutig lösbar ist. Die Lösung liefert die Punkte G und H. Der Abstand der windschiefen Geraden g und h entspricht dann dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{GH}$.
Beispiel
Die Geraden $g: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-3\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix}$ und $h: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\2 \end{pmatrix}$ sind windschief.
Für die Koordinaten eines beliebigen Punktes G auf g gilt $x_1=2+2s, \quad x_2=-3-2s, \quad x_3=1$, also $G_s(2+2s|-3-2s|1)$,
für die eines Punktes H auf h entsprechend $H_t(3+2t|1-3t|2t)$.
Für den Vektor $\overrightarrow{G_s H_t}$ gilt dann $\overrightarrow{G_s H_t}= \begin{pmatrix}3+2t-2-2s\\1-3t+3+2s\\2t-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2s+2t+1\\2s-3t+4\\2t-1 \end{pmatrix}$.
Dieser Vektor soll senkrecht zu beiden Geraden stehen, damit muss gelten
$\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{u}=0$ und $\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{v}=0$.
$\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{u}=\begin{pmatrix}3+2t-2-2s\\1-3t+3+2s\\2t-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} \\= (-2s+2t+1) \cdot 2 + (2s-3t+4) \cdot (-2) + (2t-1) \cdot 0 \\= -4s+4t+2-4s+6t-8= -8s+10t-6=0$
$\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{v}=\begin{pmatrix}3+2t-2-2s\\1-3t+3+2s\\2t-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\2 \end{pmatrix} \\= (-2s+2t+1) \cdot 2 + (2s-3t+4) \cdot (-3) + (2t-1) \cdot 2 \\= -4s+4t+2-6s+9t-12+4t-2=-10s+17t-12=0$.
Wir haben also ein lineares Gleichungssystem mit
$\begin{align} -8s+10t & = 6 \\ -10s + 17t & = 12 \end{align}$
und den Lösungen $t=1$ und $s=\frac{1}{2}$.
Einsetzen von s in g ergibt $\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix}$
und damit den Punkt $G(3|-4|1)$.
Enstprechend liefert t in h $\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\1\\0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\-2\\2 \end{pmatrix}$
und damit den Punkt $H(5|-2|2)$.
Damit gilt für den Vektor $\overrightarrow{GH}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix}$ für den Abstand von G und H $\left| \overrightarrow{GH} \right| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$.
Somit haben die beiden windschiefen Geraden einen Abstand von 3 Längeneinheiten.
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