Abstände von Geraden
Abstandsprobleme
Abstand zweier paralleler Geraden g und h
Man nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.
Abstand zweier windschiefer Geraden g und h
Der anspruchsvollste (und am seltensten gefragte) Fall. Hierbei müssen wir die Punkte G auf g und H auf h suchen, an denen sich die Geraden am nächsten sind. Das ist dann der Fall, wenn der Verbindungsvektor $\overrightarrow{GH}$ sowohl senkrecht zur Geraden g als auch zur Geraden h steht. Es gilt also $\overrightarrow{GH} \cdot \vec{u} = 0$ und $\overrightarrow{GH} \cdot \vec{v} = 0$.
Setzen wir für G und H die allgemeinen Koordinaten aus den Geradengleichungen ein, ergibt sich ein LGS, das im Falle windschiefer Geraden eindeutig lösbar ist. Die Lösung liefert die Punkte G und H. Der Abstand der windschiefen Geraden g und h entspricht dann dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{GH}$.
Beispiel
Die Geraden $g: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-3\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix}$ und $h: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\2 \end{pmatrix}$ sind windschief.
Für die Koordinaten eines beliebigen Punktes G auf g gilt $x_1=2+2s, \quad x_2=-3-2s, \quad x_3=1$, also $G_s(2+2s|-3-2s|1)$,
für die eines Punktes H auf h entsprechend $H_t(3+2t|1-3t|2t)$.
Für den Vektor $\overrightarrow{G_s H_t}$ gilt dann $\overrightarrow{G_s H_t}= \begin{pmatrix}3+2t-2-2s\\1-3t+3+2s\\2t-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2s+2t+1\\2s-3t+4\\2t-1 \end{pmatrix}$.
Dieser Vektor soll senkrecht zu beiden Geraden stehen, damit muss gelten
$\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{u}=0$ und $\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{v}=0$.
$\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{u}=\begin{pmatrix}3+2t-2-2s\\1-3t+3+2s\\2t-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} \\= (-2s+2t+1) \cdot 2 + (2s-3t+4) \cdot (-2) + (2t-1) \cdot 0 \\= -4s+4t+2-4s+6t-8= -8s+10t-6=0$
$\overrightarrow{G_s H_t} \cdot \vec{v}=\begin{pmatrix}3+2t-2-2s\\1-3t+3+2s\\2t-1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-3\\2 \end{pmatrix} \\= (-2s+2t+1) \cdot 2 + (2s-3t+4) \cdot (-3) + (2t-1) \cdot 2 \\= -4s+4t+2-6s+9t-12+4t-2=-10s+17t-12=0$.
Wir haben also ein lineares Gleichungssystem mit
$\begin{align} -8s+10t & = 6 \\ -10s + 17t & = 12 \end{align}$
und den Lösungen $t=1$ und $s=\frac{1}{2}$.
Einsetzen von s in g ergibt $\vec{x}=\begin{pmatrix}2\\-3\\1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix}$
und damit den Punkt $G(3|-4|1)$.
Enstprechend liefert t in h $\vec{x} = \begin{pmatrix}3\\1\\0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}2\\-3\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\-2\\2 \end{pmatrix}$
und damit den Punkt $H(5|-2|2)$.
Damit gilt für den Vektor $\overrightarrow{GH}= \begin{pmatrix}2\\2\\1 \end{pmatrix}$ für den Abstand von G und H $\left| \overrightarrow{GH} \right| = \sqrt{2^2+2^2+1^2} = \sqrt{9} = 3$.
Somit haben die beiden windschiefen Geraden einen Abstand von 3 Längeneinheiten.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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