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Mit der Kreiszahl Pi rechnen: Herleitung einfach erklärt

Geometrie
Berechnungen am Kreis

Video: Mit der Kreiszahl Pi rechnen: Herleitung einfach erklärt

Merke

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$\pi = 3,14(1592654.....)$

Die Kreiszahl Pi hat das Symbol $\pi$. Sie ist eine mathematische Konstante, die das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser beschreibt. Wir benötigen diese Zahl in allen möglichen Formeln rund um kreisförmige Berechnungen, aber auch in anderen Bereichen der Mathematik und Physik.

Eine Besonderheit von $\pi$ ist, dass sie irrational ist.  Sie lässt sich nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Des Weiteren hat $\pi$ unendlich viele Nachkommastellen und besitzt keine Einheit.

Methode

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Formeln mit $\pi$

  • Flächeninhalt Kreis:
    $A = \pi \cdot r^2$
  • Umfang Kreis:
    $U = 2 \cdot \pi \cdot r$

Geschichte der Kreiszahl Pi

Die Menschheit ist schon seit langer Zeit an den Berechnungen rund um den Kreis interessiert. So benötigte man auch früher schon das Verhältnis zwischen dem Durchmesser eines Rades und seinem Umfang. Da $\pi$ genau diesem Verhältnis, zwischen Umfang und Durchmesser entspricht, wurde die Zahl im Laufe der Zeit immer genauer bestimmt.
Bereits 250 v. Chr. gelang es Archimedes die Zahl mit einem 96-Eck abzuschätzen. Erst über 2000 Jahre später bewies Johann Heinrich Lamert, dass die Zahl irrational ist. Das bedeutet, dass die Zahl nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann.
Heutzutage wird immer noch an den billionsten Nachkommastellen geforscht.

Herleitung der Kreiszahl Pi

Es gibt verschiedene Arten $\pi$ herzuleiten. Diese sind jedoch alle sehr kompliziert. Daher schauen wir uns hier eine einfache Herleitung an.

Für den Beweis benötigen wir die Formel des Umfang eines Kreises.
$U=d\cdot \pi$
Der Durchmesser des Kreises soll $1 cm$ groß sein. Diesen Kreis zeichnen wir nun auf und messen anschließend den Umfang.

pi-beweis
Abbildung Kreis mit Umfang

Das Programm hat gemessen, dass der Umfang des Kreises mit einem Durchmesser von $1 cm$ ungefähr $3,14 cm$ groß ist. Damit haben wir die Formel $U = \pi \cdot d$ bewiesen, aber auch gezeigt, dass $\pi$ ungefähr $3,14$ sein muss. Dabei hat $\pi$ keine Einheit.
Du kannst dies selbst einmal versuchen. Dafür musst du deinen Zirkel auf zum Beispiel $5 cm$ einstellen. Der Kreis, der dann entsteht, hat einen Durchmesser von $10 cm$. Nun kannst du einen Faden nehmen und ihn auf den Umfang legen und danach die Länge des Fadens ausmessen. Er sollte dann ungefähr $31,4 cm$ lang sein.

Hinweis

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Für alle beliebigen Kreise gilt: Pi ist gleich dem Umfang geteilt durch den Durchmesser. $\rightarrow \pi = \frac{U}{d}$

Wir hätten auch mit der Formel des Flächeninhalts $\pi$ abschätzen können. Denn aus $A = \pi \cdot r^2$ ergibt sich $\rightarrow \pi = \frac{A}{r^2}$.

Was ist das Bogenmaß?

Das Bogenmaß ist eine Art Winkelgrößen anzugeben. Die Kreizahl $\pi$ ist ein Teil des Bogenmaßes. Meistens werden Winkel in Grad angegeben. Aber ein Winkel von $45^\circ$ kann auch im Bogenmaß, $\frac{1}{4}\pi \approx 0,79$, angegeben werden. In der Schule wird der Winkel meist in Grad angegeben, aber z.B. in der Analysis kommt das Bogenmaß vermehrt zum Einsatz.
Der Winkel wird durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben. Die Bogenlänge ist proportional zum Radius. Daraus ergibt sich, dass ein Radius $10 cm$ mit einem Winkel von 1 rad genau $10 cm$ Bogenlänge hat.

Ein ganzer Kreis hat $360^\circ$. Die dazugehörige Bogenlänge beträgt $U = 2\cdot \pi \cdot r$. Da der Radius im Einheitskreis 1 ist, ist das Bogenmaß dann $2\cdot \pi$

Es ergeben sich folgende Umrechnungsformeln:

$1^\circ = \frac{\pi}{180^\circ}rad$

$1rad = 1\cdot \frac{180^\circ}{\pi}\approx 57,3^\circ$

Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die Rechnungsmöglichkeiten mit Pi erhalten. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Lückentext
Bitte die Lücken im Text sinnvoll ausfüllen.
An der Zahl $\pi$ wird schon seit vielen Jahren geforscht.
 v. Chr. gelang es Archimedes die Zahl einzugrenzen.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.