Energie des magnetischen Feldes

Es zeigt sich, dass im Magnetfeld der Spule eine bestimmte Energie gespeichert ist. Wir wollen nun eine Formel für die Energie $W_{mag}$ des magnetischen Feldes der Spule bestimmen. 

Die folgende Herleitung dient lediglich der Vollständigkeit; muss von Dir im Abitur aber im Detail nicht wiedergegeben werden.

Herleitung

Man beachte zunächst die allgemeine Definition der Leistung

$P=\frac{dW}{dt}=\dot W$

In Stromkreisen ist bekanntlich die Leistung das Produkt aus Spannung und Stromstärke.

$P=U\cdot I$

Anhand der Selbstinduktion hat man gesehen, dass der Strom nach dem Abschalten der externen Spannungsquelle weiter fliesst. Der Strom stammt aus der Induktion innerhalb der Spule, die dann die Rolle der Stromquelle übernimmt. Folglich benutzt man die Formel für die Induktionsspannung einer Spule.

$U=-L\cdot \dot I$

Eingesetzt in die Formel für die elektrische Leistung, ergibt sich

$P=-L\cdot \dot I\cdot I$

bzw.

$\dot W=-L\cdot \dot I\cdot I$.

Nehmen wir nun an, dass vor dem Abschalten der externen Spannungsquelle die Energie $W_0$ in der Spule gespeichert war.

Dann folgt aus dem Energieerhaltungssatz, dass sich diese Energie nach dem Abschalten auf die magnetische Energie  $W_{mag}$ zum jeweiligen Zeitpunkt in der Spule und die von der Spule abgegebene Energie $W$ verteilt.

$W_0=W_{mag}+W$

Differenzieren wir diesen Ausdruck nach der Zeit unter Beachtung, dass $W_0$ eine Konstante ist.

$\dot W_0=0=\dot W_{mag}+\dot W \quad \Rightarrow \quad \dot W=-\dot W_{mag}$

Mit Hilfe der obigen Formel für $\dot W$ erhält man den Ausdruck

$\dot W_{mag}=L\cdot \dot I\cdot I$.

Dies ist offensichtlich eine Differentialgleichung. Die Lösung der Gleichung bekommt man aber einfach, wenn man die Kettenregel der Analysis gebraucht. Du solltest das Resultat selber durch Ableiten verifizieren.

Zusammenfassung

Das Phänomen der Selbstinduktion ist ein starkes Indiz dafür, dass in einer Spule eine magnetische Energie $W_{mag}$ gespeichert ist.

In einer Spule, die mit einer externen Spannungsquelle verbunden ist, fliesst der Strom nicht sofort mit maximalem Wert. Ein Teil der Energie wird nämlich zum Aufbau des Magnetfeldes der Spule benötigt. Nach dem Abschalten der Spannungsquelle sinkt der Strom nicht sofort auf Null, weil die magnetische Energie in der Spule den Strom noch eine gewisse Zeit antreibt.

Anwendung- idealer Transformator

Das Übersetzungsverhältnis der Spannungen beim (idealen) Transformator haben wir bereits kennengelernt. Wir wollen nun ein Verhältnis für die Stromstärken finden. Die Ströme in der Primär- und Sekundärspule seien $I_1$ bzw. $I_2$. Die zugehörigen Windungszahlen sind $N_1$ und $N_2$.

Wir gehen beim idealen Transformator davon aus, dass es keinen Verlust von Energie gibt. Folglich ist nach dem Energiesatz die von der Primärspule abgegebene magnetische Feldenergie $\Delta W_{1,mag}$ gleich der von der Sekundärspule aufgenommenen Feldenergie $\Delta W_{2,mag}$:

• $\Delta W_{1,mag}=\Delta W_{2,mag}$

Also mit obiger Formel

$\frac{1}{2}L_1I_1^2=\frac{1}{2}L_2I_2^2$

und daraus durch Umformung

$\frac{I_1^2}{I_2^2}=\frac{L_2}{L_1}$.

Der Ausdruck für die Induktivität $L$ einer Spule kann hier implementiert werden. Die beiden Induktivitäten unterscheiden sich nur durch die Windungszahlen; alle anderen Größen sind identisch. Beachtet man, dass L proportional zu $N^2$ ist ($L\sim N^2$), so gewinnen wir

$\frac{I_1^2}{I_2^2}=\frac{N_2^2}{N_1^2}$

und nach erfolgtem Ziehen der Wurzel folgendes Resultat: