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Kugel: Mit Formeln Umfang, Oberfläche, Volumen berechnen

Geometrie
Geometrische Körper

Video: Kugel: Mit Formeln Umfang, Oberfläche, Volumen berechnen

In diesem Text erklären wir dir, was eine Kugel ist und wie du ihren Umfang, die Oberfläche und das Volumen berechnen kannst. Zudem zeigen wir dir, wie du einen Kreisausschnitt bestimmen kannst.

Was ist eine Kugel? - Definition

Die Kugel ist ein besonderer geometrischer Körper. Sie ähnelt in vielen Punkten der zweidimensionalen Figur des Kreises und besitzt weder Ecken noch Kanten. Die Kugel besteht aus einer Kugelfläche, deren Punkte alle denselben Abstand zum Mittelpunkt $M$ der Kugel aufweisen. Dieser Abstand ist der Radius $r$ der Kugel. Der doppelte Radius entspricht dem Durchmesser der Kugel. Die Kugel lässt sich nicht weiter auseinandernehmen, sie besteht also weder aus einer Grund- oder Deckfläche, noch aus einer Mantelfläche.

Die Kugel.
Die Kugel.

Wie berechnet man den Umfang einer Kugel?

Der Umfang einer Kugel errechnet sich wie der Umfang eines Kreises.

Merke

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Umfang Kugel

$U= 2\cdot \pi \cdot r = \pi \cdot d$

Beispiel

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Wie groß ist der Umfang einer Kugel mit dem Radius $6~cm$?

$U = 2\cdot \pi \cdot r =  2 \cdot \pi \cdot 6~cm \approx 37,7~cm$

Wie berechnet man die Oberfläche einer Kugel?

Die Oberfläche einer Kugel ist nicht so einfach zu berechnen, wie die Oberfläche von rechteckigen Figuren. Das liegt vor allem daran, dass sich die Oberfläche der Kugel nicht in mehre Teile zerlegen lässt, wie die des Zylinders oder die der Pyramide. Die Gleichung zur Berechnung der Kugeloberfläche lautet:

Merke

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Oberfläche Kugel

$O= 4\cdot \pi \cdot r^2 $

Beispiel

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Wie groß ist die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser $10~cm$?

$d = 2\cdot r \leftrightarrow r = \frac{d}{2} \leftrightarrow r = 5~cm$

$O = 4\cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot (5~cm)^2 \approx 314,2~cm^2$

Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

Auch für die Berechnung des Kugelvolumens benötigst du lediglich den Radius $r$. Mit folgender Formel kannst du das Volumen einer Kugel berechnen. Möchtest du das Volumen einer Halbkugel berechnen, teile das Ergebnis einfach durch zwei.

Merke

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Volumen Kugel

$V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

Beispiel

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Wie groß ist das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r=3~cm$?

$V= \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{3}{4} \cdot \pi \cdot (3~cm)^3 \approx 113,1~cm^3$

Kreisausschnitt einer Kugel erstellen

Der Mittelpunkt der Kugel ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Kreisausschnittes. Dieser Kreisausschnitt halbiert die Kugel. Die Berechnungen des Kreisauschnittes sind dieselben, wie die des Kreises.

Merke

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Berechnungen des Kreisauschnittes

$U= 2 \cdot \pi \ r$

$A = \pi \cdot r^2$

Nun kannst du den Umfang, den Oberflächeninhalt und das Kugelvolumen berechnen. Das sind alle notwendigen Formeln, die du zur Kugelberechnung benötigst. Du kannst dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice

Welchen Umfang hat eine Kugel mit dem Radius $r=4~cm$    ?

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.