Extremwertaufgaben (Optimierung)
Als Beispiel zu Extremwertaufgaben mag das Optimierungsproblem eines Getränkedosenherstellers dienen. Eine Dose soll vereinfacht als Zylinder dargestellt sein. Das Problem besteht nun darin, zu vorgegebenem Volumen, die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius zu minimieren. Das Vorgehen ist immer dasselbe und wird am oben genannten Beispiel illustiert.
Merke
- Die Zielfunktion (in anderen Zusammenhängen auch Zielfunktional genannt) finden: Die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius $O(r)=Mantelfläche + 2 \cdot Grundfläche= 2 \pi r h + 2 \pi r^2 = 2 \pi (r^2 + r h)$.
- Die Nebenbedingung aus dem vorgegebenen Volumen finden:
$V_0=\pi r^2 h \Rightarrow h(r)=\frac{V_0}{\pi r^2}$. - Die Nebenbedingung aus 2. einsetzen: $O(r) = 2 \pi (r^2+\frac{V_0}{\pi r})$.
Ist aus der Aufgabenstellung kein Definitionsbereich abzulesen, wählt man einen möglichst sinnvollen: Radien für Dosen sollten echt positiv und nicht zu groß sein. $D_f=\left( 1; 20 \right)$ sollte genügen (Angaben in cm). - Funktionsuntersuchung für $O(r)$ durchführen: $O^\prime, O^{\prime \prime}$ bilden und lokale Minima finden.
- Randpunkte betrachten (als Grenzwert, falls nötig): Berechne $O(1)$ und $O(20)$.
- Wähle den besten Wert aus Schritt 4 und 5. Antwortsatz formulieren.
Anmerkung zu Schritt 5: Eine Funktion kann in den Randpunkten Extrema annehmen, ohne das ihre Ableitung dort null wird. Beispiel: $f:\left[ 1; 2 \right] \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x)=x$. Offensichtlich ist das globale Extremum der Punkt $(1; 1)$, die Ableitung ist überall 1.
Beispiel
- Die Zielfunktion finden: Die Oberfläche in Abhängigkeit vom Radius r und der Höhe h
$O(r)=2\pi\cdot r\cdot h + 2 \pi\cdot r^2 = 2 \pi (r^2 + r h)$. - Die Nebenbedingung aus dem vorgegebenen Volumen finden:
$V_0=\pi r^2 \cdot h \Rightarrow h(r)=\frac{V_0}{\pi r^2}$. - Die Nebenbedingung aus 2. einsetzen:
$O(r)=2 \pi (r^2 + r \frac{V_0}{\pi r^2})= 2 \pi (r^2+\frac{V_0}{\pi r})$.
Ist aus der Aufgabenstellung kein Definitionsbereich abzulesen, wählt man einen möglichst sinnvollen: Radien für Dosen sollten echt positiv und nicht zu groß sein. $D_f=\left( 1; 20 \right)$ sollte genügen (Angaben in cm). Bei Wahl des Definitionsbereichs in cm ist es notwendig das Volumen in cm³ anzugeben.
1l=1dm³=1000cm² - Funktionsuntersuchung für $O(r)=2 \pi (r^2+ \frac{1000}{\pi r})$ durchführen: $O^\prime, O^{\prime \prime}$ bilden und lokale Minima finden.
Das lokale Minimum ist bei (5,4/533,6) - Randpunkte betrachten (als Grenzwert, falls nötig): Berechne $O(1)$ und $O(20)$.
O(1)=2006,3 und O(20)=2613,3 - Wähle den besten Wert aus Schritt 4 und 5. Anwortsatz formulieren.
Der minimalste und damit beste Wert ist bei x=5,4.
Bei einem Radius von 5,4 cm hat eine 1l Dose eine minimale Oberfläche von 533,6 cm².
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