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Häufig tritt auch die Frage nach dem Volumen eines Rotationskörpers bzw. eines Drehkörpers (z.B. ein Werkstück das auf einer Drehbank hergestellt wurde) auf.

Zunächst muss man entscheiden, ob sich der Rotationskörper durch einen stetigen Funktionsgraphen und eine Rotation darstellen lässt (hierzu ist unbedingt die Definition von Funktionen zu wiederholen).

Lässt sich die Rotationsachse auf die x-Achse bringen, so dass die Kurve die den Rand oberhalb derselben beschreibt, eine Funktion f ist, kann die Formel für das Volumen einfach hergeleitet werden:

Schneidet man an der Stelle $x_0$ durch den Rotationskörper entsteht eine Kreisfläche und die Formel für diesen Flächeninhalt ist bekanntermaßen $A=\pi r^2$.

Die Funktion f gibt dabei den Radius an, d.h. es gilt: $f(x_0)=r \Rightarrow A(x)=\pi (f(x))^2$. Führt man sich nun vor Augen, dass die Integration als Summation verstanden werden kann, so ist es natürlich den Ansatz $V=\int_a^b A(x) \mathrm{d}x$ zu wählen.

Merke

Daraus errechnet man leicht die

Volumenformel $V=\pi \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x$.

Im nachfolgenden Video geht es in einer Abituraufgabe auch um das Rotationsvolumen.

Video: Rotationsvolumen

In Abituraufgaben wird häufig nach dem Rotationsvolumen gefragt, das sich nach einigen Vorüberlegungen mit der Volumenformel leicht lösen lässt.
Multiple-Choice
Welches Volumen hat eine Vase, deren Stellfläche Radius 1 und deren Öffnung Radius 3 besitzt? Zwischen diesen Punkten wird der Verlauf nahezu perfekt durch die Wurzelfunktion beschrieben.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Rotationsvolumen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
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    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
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        • Einleitung zu Trassierung
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      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
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      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
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    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
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  • 13
  • 56
  • 12

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  • Miriam

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    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
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    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

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