Rotationsvolumen
Häufig tritt auch die Frage nach dem Volumen eines Rotationskörpers bzw. eines Drehkörpers (z.B. ein Werkstück das auf einer Drehbank hergestellt wurde) auf.
Zunächst muss man entscheiden, ob sich der Rotationskörper durch einen stetigen Funktionsgraphen und eine Rotation darstellen lässt (hierzu ist unbedingt die Definition von Funktionen zu wiederholen).
Lässt sich die Rotationsachse auf die x-Achse bringen, so dass die Kurve die den Rand oberhalb derselben beschreibt, eine Funktion f ist, kann die Formel für das Volumen einfach hergeleitet werden:
Schneidet man an der Stelle $x_0$ durch den Rotationskörper entsteht eine Kreisfläche und die Formel für diesen Flächeninhalt ist bekanntermaßen $A=\pi r^2$.
Die Funktion f gibt dabei den Radius an, d.h. es gilt: $f(x_0)=r \Rightarrow A(x)=\pi (f(x))^2$. Führt man sich nun vor Augen, dass die Integration als Summation verstanden werden kann, so ist es natürlich den Ansatz $V=\int_a^b A(x) \mathrm{d}x$ zu wählen.
Merke
Daraus errechnet man leicht die
Volumenformel $V=\pi \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x$.
Im nachfolgenden Video geht es in einer Abituraufgabe auch um das Rotationsvolumen.
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