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3. binomische Formel - Anwendung ganz einfach erklärt

Video: 3. binomische Formel - Anwendung ganz einfach erklärt

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der dritten binomischen Formel. Die dritte  binomische Formel hilft dir beim Zusammenfassen zweier Klammern, die miteinander multipliziert werden und die gleichen Variablen besitzen. Die jeweils zweite Variable hat jedoch ein anderes Vorzeichen.

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3. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2)$

3. binomische Formel - Rechnerisch herleiten

Die Herleitung der dritten binomischen Formel folgt, ähnlich wie bei der ersten und zweiten binomischen Formel, ganz normalen Umformungsregeln. Zunächst multiplizieren wir die Klammern miteinander, indem wir jede Variable innerhalb der einen Klammer mit den Variablen der anderen Klammer multiplizieren.

$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a + a \cdot ( - b) + b\cdot a + b \cdot (- b)$

Rechnen wir die Vorzeichen zusammen erhalten wir folgenden Term:

$a \cdot a + a \cdot ( - b) + b\cdot a + b \cdot (- b) = a^2 - a\cdot b + a \cdot b - b^2$

Die beiden mittleren Ausdrücke ($a\cdot b$ und $-a \cdot b$) kürzen sich gegenseitig raus. Was übrig bleibt ist die dritte binomische Formel:

$a^2 - a\cdot b + a \cdot b - b^2 = a^2 - b^2$ 

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3. binomische Formel

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2)$

3. binomische Formel anwenden - Beispiele

Beispiel

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$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{b}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{b}^2)$

$(\textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{x}) \cdot (\textcolor{blue}{3} - \textcolor{red}{x}) = (\textcolor{blue}{3}^2 - \textcolor{red}{x}^2) = (9 - x^2)$

$(\textcolor{blue}{a} + \textcolor{red}{5}) \cdot (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{5}) = (\textcolor{blue}{a}^2 - \textcolor{red}{5}^2) = (a^2 - 25)$

$(\textcolor{blue}{81} - \textcolor{red}{y}^4) = (\textcolor{blue}{9} + \textcolor{red}{y^2}) \cdot (\textcolor{blue}{9} - \textcolor{red}{y^2})$

3. binomische Formel - Graphisch herleiten

Ähnlich wie die erste und die zweite binomische Formel lässt sich auch die dritte binomische Formel grafisch über die Flächeninhalte von Rechtecken herleiten bzw. beweisen.

Grafische Herleitung und Beweis der dritten binomischen Formel
Grafische Herleitung und Beweis der dritten binomischen Formel

In der linken Abbildung entspricht das blaue Vieleck dem Flächeninhalt $A_{Vieleck} = a^2 - b^2$. Dasselbe Vieleck lässt sich an der Diagonalen auseinander schneiden und ergibt neu zusammengesetzt ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $A_{Rechteck}= (a+b) \cdot (a-b)$, das du in der rechten Abbildung siehst.

Da der Flächeninhalt durch die Transformation nicht geändert wurde, kann man die unterschiedlichen Ausdrücke gleichsetzen:

$A_{Vieleck} = A_{Rechteck}$

$a^2 - b^2 = (a + b) \cdot (a - b)$

Wir erhalten auch hier die dritte binomische Formel.

Ohne Taschenrechner rechnen - Wie wende ich die 3. binomische Formel an?

Die dritte binomische Formel kann genutzt werden, um Produkte der folgenden Art zu vereinfachen und gegebenenfalls ohne Taschenrechner auszurechnen:

$105 \cdot 95 = (100 + 5) \cdot (100 - 5) = 100^2 - 5^2 = 10000 - 25 = 9975$

Teste dein neu erlerntes Wissen zur 3. binomischen Formel mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice
Wie lässt sich der Term mit Hilfe der dritten binomischen Formel vereinfachen? 

$(x + 5) \cdot (x - 5)$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.