Das Additionsverfahren: Lineare Gleichungssysteme lösen

Lineare Gleichungssysteme können neben dem Einsetzverfahren auch mittels des Additionsverfahrens gelöst werden.

Additionsverfahren - Definition

Das Additionsverfahren basiert auf der Erkenntnis, dass alle Gleichungen eines linearen Gleichungssystems vertikal addiert werden können, ohne den mathematischen Ausdruck zu verändern. Das heißt bei einem Gleichungssystem aus zwei Gleichungen zum Beispiel, dass die jeweils linken Seiten addiert genau denselben Wert ergeben, wie die Summe der rechten Seiten.

Aus dieser Überlegung heraus ergibt sich eine neue Methode lineare Gleichungssysteme zu lösen: Das Additionsverfahren. Im Gegensatz zum Einsetzverfahren lassen sich damit sogar Gleichungen mit mehr als zwei Variablen einfach lösen.

Wie löst man lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen?

Betrachten wir folgendes Gleichungssystem:

Gleichung (1): $|6\cdot x + 12\cdot y = 30|$

Gleichung (2): $|~~3\cdot x + 3\cdot y = ~~9|$

1. Schritt: Eine Variable eliminieren

Im ersten Schritt müssen wir durch die Addition der beiden Gleichungen eine der Variablen eliminieren. Dies funktioniert natürlich nur, wenn von der oberen Gleichung derselbe Wert der Variable abgezogen wird. Um beispielsweise die Variable $x$ durch Addition zu eliminieren, müsste in der unteren Gleichung $-x$ stehen. Da dort jedoch noch ein positives $x$ steht, müssen wir die untere Gleichung zunächst umformen:

Gleichung (2): $~~3 \cdot x +  3\cdot y = ~~~~9~~~~| \cdot (-2)$

Gleichung (2): $-6\cdot x - 6\cdot x = - 18$

Schreiben wir die umgeformte Gleichung (2) nun wieder in das lineare Gleichungssystem:

Gleichung (1):$|~~~~6\cdot x + 12\cdot y = ~~~~30|$

Gleichung (2):$|-6\cdot x - ~~6 \cdot y = - 18|$

Durch die Umformung der unteren Gleichung können wir die Variable $x$ mit Hilfe der Addition eliminieren.

Gleichung (1):$|~~~~6\cdot x + 12\cdot y = ~~~~30|$

Gleichung (2):$\underline{|-6\cdot x - ~~6 \cdot y = - 18}|$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~6\cdot y = 12$

2. Schritt: Variablen ausrechnen

Nun können wir für $y$ einen exakten Wert ausrechnen.

$6\cdot y = 12~~~~| :6$

$~~~~~y = 2$

Wie beim Einsetzverfahren, können wir jetzt auch $x$ ausrechnen, indem wir den errechneten Wert für $y$ in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen.

Gleichung (1): $6\cdot x + 12\cdot 2 = 30$

Gleichung (1): $~~~~~6\cdot x + 24 = 30~~~~| -24$

Gleichung (1): $~~~~~~~~~~~~~6 \cdot x = 6~~~~~~|:6$

Gleichung (1): $~~~~~~~~~~~~~~~~~x = 1$

3. Schritt: Probe der Ergebnisse

Wir erhalten also die folgenden Werte: $y = 2$; $x = 1$

Um zu überprüfen, ob diese Ergebnisse stimmen, setzen wir beide Werte in das Gleichungssystem ein.

Gleichung(1): $|6\cdot 1 + 12\cdot 2 = 30|$

Gleichung(2): $|3\cdot 1 + ~~3\cdot 2 =~~9|$

Durch einfaches Ausrechnen erhalten wir die Ausdrücke:

Gleichung(1): $|30 = 30|$

Gleichung(2): $|~~9 =~~9|$

Unser Ergebnis ist also korrekt. 

Der schwierigste Schritt ist der erste, das heißt die Eliminierung einer Variable. Alles, was danach folgt, sind einfache Umformungen, die du schon vom Einsetzverfahren kennst.

Wie löst man lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen?

Das Additionsverfahren funktioniert auch bei Gleichungssystemen mit drei Variablen sehr gut. Wir verrechnen zunächst zwei Gleichungen, mit je drei Variablen, zu einer Gleichung mit zwei Variablen. Dasselbe machen wir nun noch mit der dritten Gleichung, die übriggeblieben ist und erhalten so ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit je zwei Variablen, das wir ,wie oben besprochen, lösen können.

Betrachten wir folgendes lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen:

Gleichung(1):$|~~~~~~a - 3 \cdot b -2\cdot c~ = 5|$

Gleichung(2):$|~-a + ~~~~~b + ~~~~~c = 0|$

Gleichung(3):$|~5\cdot a + ~~~~~b + 4\cdot c =3|$

1. Schritt: Erste Variable eliminieren

Da wir in diesem Fall drei Variablen im Gleichungssystem haben, müssen wir zunächst zwei Variablen eliminieren um dann nach der bekannten Methode zu verfahren. In einem einzigen Schritt ist dies meist nicht möglich, weshalb wir die Variablen nacheinander eliminieren. Addieren wir Gleichung(1) und Gleichung(2) können wir $a$ eliminieren, ohne eine Umformung bei einer der beiden Gleichungen vornehmen zu müssen.

Gleichung (1):$|~~~~~~a - 3 \cdot b -2\cdot c~ = 5|$

Gleichung (2):$\underline{|~-a + ~~~~~b + ~~~~~c = 0|}$

Neue Gleichung(1): $~~~~~|-2\cdot b - c = 5|$

Durch das Verrechnen der ersten beiden Gleichungen erhalten wir einen Ausdruck mit den zwei Variablen $b$ und $c$. Die dritte Gleichung hat jedoch immer noch alle drei Variablen. Auch hier müssen wir, um weiter rechnen zu können, $a$ eliminieren. Dazu betrachten wir Gleichung(2) und Gleichung(3).

Gleichung (2):$|-a + b + ~~~~c = 0|$

Gleichung (3):$|5\cdot a + b + 4\cdot c= 3|$

Multiplizieren wir Gleichung(2) mit $5$ können wir $a$ durch Addition der Gleichungen eliminieren.

Gleichung (2):$|-5 \cdot a + 5\cdot b + 5\cdot c = 0|$

Gleichung (3):$|~~~~5\cdot a + ~~~~~b + 4\cdot c = 3|$

Neue Gleichung (2):$|~~~~~~~~~6\cdot b + 9\cdot c= 3|$

Mit Hilfe der zwei Additionen haben wir aus drei Gleichungen mit drei Variablen, zwei Gleichungen mit zwei Variablen gemacht:

Neue Gleichung (1): $|-2\cdot b - c = 5|$

Neue Gleichung (2): $|6\cdot b + 9\cdot c = 3|$

2. Schritt: Zweite Variable eliminieren

Nun können wir das Gleichungssystem analog zum oben beschriebenen Verfahren weiter lösen. Dividieren wir die zweite neue Gleichung durch $3$, erhalten wir ein Gleichungsystem, bei dem durch Addition die Variable $y$ eliminiert werden kann.

Neue Gleichung (1):$|-2\cdot b -~~~~c = 5|$

Neue Gleichung (2):$\overline{|~~~~2\cdot b + 3\cdot c = 1|}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2\cdot c = 6$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\textcolor{red}{c = 3}$

3. Übrige Variablen ausrechnen

Sobald wir nun einen exakten Wert für eine der Variablen haben, gehen wir wieder rückwärts. Zunächst setzen wir $c$ in eine der neuen Gleichungen ein.

Neue Gleichung (1): $-2\cdot b - 3 = 5~~~~|+3$

Neue Gleichung (1): $-2 \cdot b~~~~~~= 8~~~~|:(-2)$

Neue Gleichung (1): $\textcolor{red}{~~~~~~~~~b~~~~~= - 4}$

Nun kennen wir die Werte für $b$ und $c$, sodass wir $a$ mit Hilfe einer der Ausgangsgleichungen ausrechnen können.

Gleichung(2): $-a + b + c = 0$

Gleichung(2): $-a - 4 + 3 = 0$

Gleichung(2): $-a -1~~~~~~= 0~~~~|+ 1$

Gleichung(2): $-a~~~~~~~~~~~~= 1~~~~|:(-1)$

Gleichung(2): $\textcolor{red}{~~~a~~~~~~~~~~~~ = - 1}$

4. Probe der Ergebnisse

Wir sollten natürlich noch unsere Werte in die drei Ausgangsgleichungen einsetzen, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben.

Gleichung(1):$|- 1 - 3 \cdot (-4)  - 2\cdot 3 = 5|$

Gleichung(2):$|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1 - 4 + 3 = 0|$

Gleichung(3):$|~~~~~~5\cdot (-1) - 4 + 4\cdot 3 =3|$

Durch einfaches Ausrechnen erhalten wir folgende Werte. 

Gleichung(1):$|5 = 5|$

Gleichung(2):$|0 = 0|$

Gleichung(3):$| 3 =3|$

Unsere Ergebnisse sind also korrekt!

Jetzt hast du einen detaillierten Überblick über die Anwendung des Additionsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bekommen. Ob du alles verstanden hast, kannst du nun anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!