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Wie rechnet man mit Potenzen mit gleicher Basis?

Video: Wie rechnet man mit Potenzen mit gleicher Basis?

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Frage, wie man Potenzen, deren Basis gleich ist, multiplizieren und dividieren kann. Außerdem betrachten wir noch einen speziellen Fall, bei dem die Potenz selber potenziert wird.

Multiplizieren von Potenzen mit gleicher Basis

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Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

$ a^3 \cdot a^5 = a^{3+5} = a^8 $

Beispiel

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(1) $ 12^5 \cdot 12^{-4} = 12^{5+(-4)} = 12^1 = 12$

(2) $ 9^{-7} \cdot 9^{-3} = 9^{(-7)+(-3)} = 9^{-10}$

(3) $ 8^3 \cdot 8^5= 8^{3 + 5} = 8^8 $

Herleitung anhand eines Beispiels:

Schauen wir uns also Potenzen an, deren Basis gleich ist.

Beispiel

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$ 2^3 \cdot 2^5$

Wie würdet ihr zwei Potenzen gleicher Basis multiplizieren ohne spezielle Regeln? Natürlich könnte man die Potenzen ausschreiben und dann multiplizieren:

$ 2^3 \cdot 2^5 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 256 $

Methode

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Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!

Die einzelnen Multiplikationen lassen sich zusammenfügen. Warum darf man das? Erinnerst du dich vielleicht noch an das Assoziativgesetz für Multiplikationen?

Bei einem Zwischenschritt kommst du also auf diese sehr lange Multiplikation. Seit eben kennst du aber eine neue, viel übersichtlichere Schreibweise für solch lange Rechnungen: die Potenz.

Schauen wir uns einmal an, was passiert, wenn wir den langen Term in eine Potenz umwandeln:

$ 2^3 \cdot 2^5 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 2^8 = 256 $

Schreiben wir die Rechnung nur in Potenzen erhalten wir:

$ 2^3 \cdot 2^5 = 2^8$

Was fällt dir auf, wenn du die einzelnen Exponenten vergleichst? Was haben die $5$ und die $3$ mit der $8$ zu tun?

$ 2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 $

Wenn du zwei Potenzen mit gleicher Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten und behältst die Basis bei.

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Allgemein gilt:

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

$ a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis

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Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten substrahiert und die Basis beibehält.

$\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$

Beispiel

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(1) $\frac{9^{11}}{9^5} = 9^{11-5} = 9^6$

(2) $\frac{3^5}{3^3} = 3^{5-3} = 3^2$

(3) $\frac{7^4}{7^8} = 7^{4-8} = 7^{-4}$

(4) $\frac{a^{3\cdot m + 1}}{a^{m - 2}} = a^{(3\cdot m + 1) - (m - 2)} = a^{2\cdot m + 3}$

Herleitung anhand eines Beispiels:

Schauen wir uns nun an, wie Potenzen gleicher Basis dividiert werden.

Beispiel

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$\frac{2^6}{2^3}$

Die Vorgehensweise ist dabei dieselbe wie bei der Multiplikation: Wir schreiben die Potenz zunächst aus.

$\frac{2^6}{2^3} = \frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2\cdot 2}$

An dieser Stelle musst du schon wieder auf dein Vorwissen zurückgreifen. Du hast bestimmt schon einmal gelernt, wie man Zähler und Nenner in einem Bruch gegenseitig kürzen kann. Im Zähler steht insgesamt sechs mal die 2, im Nenner nur dreimal. Kürzen wir diese gegeneinander weg, erhalten wir folgendes:

$\frac{2^6}{2^3} = \frac{ \not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot 2\cdot 2\cdot 2}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Auch in diesem Fall können wir das Produkt in eine Potenz umwandeln und erhalten folgendes Ergebnis:

$\frac{2^6}{2^3} = 2^3 $

Wieder lohnt sich ein Blick auf die Exponenten: $\frac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$

Im Gegensatz zur Multiplikation werden die Exponenten bei der Division substrahiert.

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Allgemein gilt:

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten substrahiert und die Basis beibehält.

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Potenzen potenzieren

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Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

${(a^3)^2} = 2^{3\cdot 2} = a^6$

Beispiel

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(1) ${(8^4)^5} = 8^{4\cdot 5} = 8^{20}$

(2) ${(12^3)^{(-2)}} = 12^{3\cdot (-2)} = 12^{-6}$

(3) ${(3^x)^2} = 3^{x\cdot 2} = 3^{2x}$

Herleitung anhand eines Beispiels:

Beispiel

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${(2^3)^2}$

Auch diese potenzierte Potenz können wir ausschreiben:

${(2^3)^2} = 2^3\cdot 2^3 = (2\cdot 2\cdot 2) \cdot (2\cdot 2\cdot2) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot2 = 2^6 $

Was jetzt kommt, ist für dich ja schon ein alter Hut: wir vergleichen die Exponenten.

$2^{3^2} = 2^6 = 2^{3\cdot 2}$

Auch hier lässt sich ein simpler Zusammenhang herleiten: Potenzen lassen sich potenzieren, indem man ihre Exponenten multipliziert.

Merke

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Allgemein gilt:

Potenzen mit gleicher Basis werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält.

${(a^m)^n} = a^{m\cdot n}$

Dein neu erlerntes Wissen zum Rechnen mit Potenzen mit gleicher Basis kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice
Wie kann man diesen Term vereinfachen?

$6^a \cdot 2^b \cdot 6^c \cdot 2^d$
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.