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Vektorraum - Basis und Dimension

Wichtiger für uns (beim Thema Vektorraum) sind die Begriffe Basis und Dimension.

Merke

Als Basis eines linearen Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können.

Beispiel

Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. Man spricht hier auch von einer Orthonormalbasis, da die Vektoren senkrecht zueinander stehen ("ortho") und jeweils den Betrag 1 haben (also normiert sind). Jeder Punkt im Raum kann durch eine Kombination dieser Vektoren (oder Vielfachen davon) erreicht werden.

Bildung einer Basis aus Vektoren

Um eine Basis zu bilden, müssen die Vektoren zueinander linear unabhängig sein. Die Anzahl der maximal möglichen linear unabhängigen Vektoren gibt die Dimension des Vektorraumes an. Die Dimension der euklidischen Ebene ist 2, die des Raumes 3. Habe ich im Dreidimensionalen drei zueinander linear unabhängige Vektoren gefunden, so gibt es keinen weiteren, der wiederum zu allen drei linear unabhängig ist.

Sowohl in der Mathematik als auch in ihren Anwendungen in anderen Disziplinen hat man es häufig mit höherdimensionalen Vektorräumen zu tun. Für das Abitur reichen uns aber zwei (Ebene) bzw. drei Dimensionen (Raum), lediglich in der Matrizenrechnung werden wir mit mehr Dimensionen zu tun haben (erkennbar an der Anzahl der Einträge des Vektors).

Die hier aufgeführten Zusammenhänge werden auch im folgenden Video noch einmal aufgezeigt:

Video: Vektorraum - Basis und Dimension

Vorstellung des Online-Kurses Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

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  • Einleitung und Grundlagen
    • Einleitung zu Einleitung und Grundlagen
    • Koordinatensystem
    • Was sind Vektoren?
    • Begriff des Vektorraums
    • Vektorraum - Basis und Dimension
  • Rechnen mit Vektoren
    • Einleitung zu Rechnen mit Vektoren
    • Addition und Subtraktion von Vektoren
    • Vektor zwischen zwei Punkten
    • Betrag eines Vektors berechnen
    • Vielfache von Vektoren bilden
    • Linearkombination von Vektoren
    • Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren
  • Geraden
    • Einleitung zu Geraden
    • Aufstellen einer Geradengleichung
    • Eine Gerade - viele Gleichungen?
    • Lage von Geraden
    • Schnitte von Geraden
  • Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Einleitung zu Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    • Normierung eines Vektors
    • Skalarprodukt zweier Vektoren
    • Vektoren und Winkel
    • Vektorprodukt / Kreuzprodukt
  • Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Einleitung zu Ebenen in der analytischen Geometrie
    • Aufstellen von Ebenen in Parameterform
    • Normalenform einer Ebene
    • Koordinatenform einer Ebene
    • Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    • Ebenengleichungen umwandeln
    • Hessesche Normalenform
  • Lagebeziehungen und Abstände
    • Einleitung zu Lagebeziehungen und Abstände
    • Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    • Abstandsprobleme
      • Einleitung zu Abstandsprobleme
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    • Einleitung zu Spiegelungen
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  • Lineare Gleichungssysteme
    • Einleitung zu Lineare Gleichungssysteme
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