Vektorraum - Basis und Dimension
Wichtiger für uns (beim Thema Vektorraum) sind die Begriffe Basis und Dimension.
Merke
Als Basis eines linearen Vektorraumes bezeichnen wir die Elemente (Vektoren), aus denen durch Linearkombination alle Elemente des Raumes gebildet werden können.
Beispiel
Im Dreidimensionalen besteht eine mögliche (und die einfachste dazu) Basis aus den Einheitsvektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\vec{c}=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$. Man spricht hier auch von einer Orthonormalbasis, da die Vektoren senkrecht zueinander stehen ("ortho") und jeweils den Betrag 1 haben (also normiert sind). Jeder Punkt im Raum kann durch eine Kombination dieser Vektoren (oder Vielfachen davon) erreicht werden.
Bildung einer Basis aus Vektoren
Um eine Basis zu bilden, müssen die Vektoren zueinander linear unabhängig sein. Die Anzahl der maximal möglichen linear unabhängigen Vektoren gibt die Dimension des Vektorraumes an. Die Dimension der euklidischen Ebene ist 2, die des Raumes 3. Habe ich im Dreidimensionalen drei zueinander linear unabhängige Vektoren gefunden, so gibt es keinen weiteren, der wiederum zu allen drei linear unabhängig ist.
Sowohl in der Mathematik als auch in ihren Anwendungen in anderen Disziplinen hat man es häufig mit höherdimensionalen Vektorräumen zu tun. Für das Abitur reichen uns aber zwei (Ebene) bzw. drei Dimensionen (Raum), lediglich in der Matrizenrechnung werden wir mit mehr Dimensionen zu tun haben (erkennbar an der Anzahl der Einträge des Vektors).
Die hier aufgeführten Zusammenhänge werden auch im folgenden Video noch einmal aufgezeigt:
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