Anwendungsprobleme zur Induktion
Wir wollen nun einige Anwendungsprobleme für das Induktionsgesetz kennenlernen. Wir wissen aus dem Induktionsgesetz, dass eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife eine Induktionsspannung bewirkt.
Betrachtet man die allgemeine Formel für den magnetischen Fluss $\Phi$ durch eine Leiterschleife
$\Phi=\vec{B}\cdot \vec{A}$,
so zeigen sich im Wesentlichen zwei Möglichkeiten der Flussänderung:
- zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte $\vec{B}$
- zeitliche Änderung der vom Magnetfeld durchzogenen Fläche $A$ der Leiterschleife
Leiterschleife: Induktion durch zeitliche Änderung der Fläche A
Beispiel
Wir betrachten als Beispiel eine Leiterschleife, die sich mit der Geschwindigkeit $v$ durch ein homogenes Magnetfeld bewegt. (siehe Bild)
Da die Leiterfläche senkrecht zum Magnetfeld steht, ist der magnetische Fluss $\Phi$ schlicht
$\Phi=B\cdot A(t)$
Das Magnetfeld bleibt zeitlich konstant, nur die vom Magnetfeld durchdrungene Leiterfläche ändert sich zeitlich. Zum Zeitpunkt $t=0$ dringe die Leiterschleife ins Magnetfeld ein. Dann ergibt sich für $A(t)$
$A(t)=d\cdot (v\cdot t)$
Dabei ist $v\cdot t$ die Länge, welche die Leiterschleife nach der Zeit $t$ im Magnetfeld zurückgelegt hat.
$\Rightarrow \Phi=B\cdot A(t)=B\cdot d\cdot v\cdot t \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\Phi=B\cdot d\cdot v$
Nach dem Induktionsgesetz ergibt sich für die Induktionsspannung
$U_{ind}=-\frac{d}{dt}\Phi=-B\cdot d\cdot v$
Zwei Spulen (idealer Transformator)
Als weiteres auch in der Technik relevantes Thema betrachten wir die Induktion im Fall von zwei Spulen. Damit gehen wir auf das physikalische Grundprinzip eines Transformators ein.
Dazu zunächst folgendes Video:
Wir können das Übersetzungsverhältnis der Spannungen in beiden Spulen mit Hilfe des Induktionsgesetzes ganz einfach herleiten.
Seien dazu $N_1$ und $N_2$ die Windungszahlen der Primär- und Sekundärspule. $U_1$ und $U_2$ sind die zugehörigen Induktionsspannungen. Im idealen Fall (idealer Transformator) kann man folgende Annahmen machen:
- Energieverluste sind vernachlässigbar
- Der magnetische Fluss $\Phi$ der Primärspule durchsetzt vollständig die Sekundärspule
Dann lauten die jeweiligen Induktionsspannungen
$U_1=-N_1\cdot \dot \Phi$
$U_2=-N_2\cdot \dot \Phi$
Durch Umformung, Eliminierung von $\dot \Phi$, bekommt man dann
$\frac{U_1}{N_1}=\frac{U_2}{N_2}$
Merke
Das Übersetzungsverhältnis der Spannungen für einen (idealen) Transformator lautet
$\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}$
Durch ein bestimmtes Verhältnis der Windungszahlen lässt sich die Primärspannung also hoch- oder heruntertransformieren.
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