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Anwendungsprobleme zur Induktion

Wir wollen nun einige Anwendungsprobleme für das Induktionsgesetz kennenlernen. Wir wissen aus dem Induktionsgesetz, dass eine zeitliche Änderung des magnetischen Flusses durch eine Leiterschleife eine Induktionsspannung bewirkt.

Betrachtet man die allgemeine Formel für den magnetischen Fluss $\Phi$ durch eine Leiterschleife

$\Phi=\vec{B}\cdot \vec{A}$,

so zeigen sich im Wesentlichen zwei Möglichkeiten der Flussänderung:

  • zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte $\vec{B}$
  • zeitliche Änderung der vom Magnetfeld durchzogenen Fläche $A$ der Leiterschleife

Leiterschleife: Induktion durch zeitliche Änderung der Fläche A

Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
Leiterschleife im homogenen Magnetfeld

Beispiel

Wir betrachten als Beispiel eine Leiterschleife, die sich mit der Geschwindigkeit $v$ durch ein homogenes Magnetfeld bewegt. (siehe Bild)

Da die Leiterfläche senkrecht zum Magnetfeld steht, ist der magnetische Fluss $\Phi$ schlicht

$\Phi=B\cdot A(t)$

Das Magnetfeld bleibt zeitlich konstant, nur die vom Magnetfeld durchdrungene Leiterfläche ändert sich zeitlich. Zum Zeitpunkt $t=0$ dringe die Leiterschleife ins Magnetfeld ein. Dann ergibt sich für $A(t)$

$A(t)=d\cdot (v\cdot t)$

Dabei ist $v\cdot t$ die Länge, welche die Leiterschleife nach der Zeit $t$ im Magnetfeld zurückgelegt hat.

$\Rightarrow \Phi=B\cdot A(t)=B\cdot d\cdot v\cdot t \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt}\Phi=B\cdot d\cdot v$

Nach dem Induktionsgesetz ergibt sich für die Induktionsspannung

$U_{ind}=-\frac{d}{dt}\Phi=-B\cdot d\cdot v$

Zwei Spulen (idealer Transformator)

Als weiteres auch in der Technik relevantes Thema betrachten wir die Induktion im Fall von zwei Spulen. Damit gehen wir auf das physikalische Grundprinzip eines Transformators ein.

Dazu zunächst folgendes Video:

Video: Anwendungsprobleme zur Induktion

Anwendungen des Induktionsgesetzes: Leiterschleife im homogenen Magnetfeld, zwei Spulen, idealer Transformator.

Wir können das Übersetzungsverhältnis der Spannungen in beiden Spulen mit Hilfe des Induktionsgesetzes ganz einfach herleiten.

Seien dazu $N_1$ und $N_2$ die Windungszahlen der Primär- und Sekundärspule. $U_1$ und $U_2$ sind die zugehörigen Induktionsspannungen. Im idealen Fall (idealer Transformator) kann man folgende Annahmen machen:

  • Energieverluste sind vernachlässigbar
  • Der magnetische Fluss $\Phi$ der Primärspule durchsetzt vollständig die Sekundärspule

Dann lauten die jeweiligen Induktionsspannungen

$U_1=-N_1\cdot \dot \Phi$

$U_2=-N_2\cdot \dot \Phi$

Durch Umformung, Eliminierung von $\dot \Phi$, bekommt man dann

$\frac{U_1}{N_1}=\frac{U_2}{N_2}$

Merke

Das Übersetzungsverhältnis der Spannungen für einen (idealen) Transformator lautet

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{N_1}{N_2}$

Durch ein bestimmtes Verhältnis der Windungszahlen lässt sich die Primärspannung also hoch- oder heruntertransformieren.

Multiple-Choice
Gegeben sei ein idealer Transformator mit folgenden Windungszahlen
$N_1=600$ (Primärspule)
$N_2=1200$ (Sekundärspule)
An der Primärspule wird eine Wechselspannung $U_1=U_{01}\cdot \sin{(\omega_1\cdot t)}$ angelegt. Die Frequenz $f_1$ der Spannung an der Primärspule ist 50 Hz ($\omega=2\pi\cdot f$).
Wie wir gelernt haben, ensteht dann auch in der Sekundärspule eine Wechselspannung.

Wie groß ist nun die Frequenz $f_2$ der Wechselspannung in der Sekundärspule?
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses ElektromagnetismusElektromagnetismus
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Elektromagnetismus

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  • Elektromagnetische Induktion
    • Einleitung zu Elektromagnetische Induktion
    • Induktion- Magnetischer Fluss
      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
      • Induktionsspannung- Induktionsgesetz
      • Induktionsstrom- Lenzsche Regel
      • Anwendungsprobleme zur Induktion
    • Selbstinduktion
    • Energie des magnetischen Feldes
  • Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Einleitung zu Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Schwingungen
      • Einleitung zu Schwingungen
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      • Energie - schwingendes System
      • Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    • Das Phänomen Welle
      • Einleitung zu Das Phänomen Welle
      • Grundbegriffe für Wellen
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      • Wellenphänomen: Interferenz
        • Einleitung zu Wellenphänomen: Interferenz
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    • Einleitung zu Elektromagnetische Schwingungen
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