Induktionsspannung- Induktionsgesetz
Aus der Notwendigkeit, die experimentellen Beobachtungen über die Induktionsspannung zu interpretieren, haben wir die magnetische Flussdichte $\Phi$ definiert.
Ihre Veränderung führt zur Induktion einer Spannung (Induktionsspannung) innerhalb der Leiterschleife. Bei einer geschlossenen Leiterschleife kann sogar ein elektrischer Stromfluss (Induktionsstrom) erfolgen, der auf die Wirkung eben jener Induktionsspannung zurückzuführen ist.
Man präge sich folgenden Merksatz ein:
Merke
Eine Veränderung des magnetischen Flusses $\Phi$ einer Leiterschleife ist die Ursache für die in ihr induzierte Induktionsspannung.
Weiterhin zeigt sich auch experimentell, dass es die zeitliche Veränderung des magnetischen Flusses ist, die für die Größenordnung der Induktionsspannung verantwortlich ist.
Mathematische Formulierung $U_{ind}=-N\cdot \dot \Phi$
Hinweis
Aus der Mathematik ist bekannt, dass die Veränderung einer Funktion in Abhängigkeit von ihrer Variablen durch die Ableitung der Funktion bestimmt wird.
Wenn also der magnetische Fluss $\Phi$ als zeitabhängige Funktion $\Phi (t)$ betrachtet wird, so liefert die Ableitung
$\frac{d}{dt}\Phi (t)$
die zeitliche Veränderung des magnetischen Flusses.
Bemerkung: Die Ableitung wird auch in der Form $\dot \Phi(t)$ geschrieben.
Das folgende Induktionsgesetz stellt eine Verbindung zwischen der gesuchten Induktionsspannung $U_{ind}$ und der Ableitung des magnetischen Flusses nach der Zeit her.
Merke
Induktionsgesetz
Hat der magnetische Fluss $\Phi$ innerhalb einer Leiterschleife die zeitliche Veränderung bzw. Ableitung
$\frac{d}{dt}\Phi (t)$,
so induziert er in der Leiterschleife eine Induktionsspannung $U_{ind}$ und es gilt:
$U_{ind}=-\frac{d}{dt}\Phi=-\dot \Phi$
Für eine Spule mit $N$ Windungen erhält man
$U_{ind}=-N\cdot \frac{d}{dt} \Phi=-N\cdot \dot \Phi$
Man achte dabei auf das Vorzeichen im Induktionsgesetz. Das Minuszeichen steht im Zusammenhang mit der Richtung des Induktionsstroms, den wir noch betrachten werden.
Aus dem Induktionsgesetz folgt auch
$U_{ind}=-\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi=-U_{ind}\cdot \Delta t$,
wodurch man für den magnetischen Fluss auch die physikalische Einheit
$[\Phi]=1Vs=1Tm^2$
nutzen kann.
Rechenbeispiele zum Induktionsgesetz
Beispiel
Ableitung des magnetischen Flusses in einem Spezialfall (Magnetfeld $\vec{B}$ steht senkrecht auf der Fläche $A$)
In diesem Spezialfall haben wir den magnetischen Fluss $\Phi$ bereits berechnet und die Formel ist $\Phi=B\cdot A$. Dann lautet die Ableitung
$\frac{d}{dt}\Phi=\frac{dB}{dt}A+B\frac{dA}{dt}$,
was man einfach nach der Produktregel der Analysis erhält. Ganz besonders einfach wird die Formel, wenn das Magnetfeld oder die Fläche $A$, die vom Magnetfeld durchsetzt wird, zeitlich konstant ist.
Betrachten wir noch ein nicht triviales Beispiel:
Beispiel
Der magnetische Fluss durch eine Spule sei gegeben durch $\Phi(t)=\Phi_0\cdot \sin(\omega\cdot t)$.
Man berechne die Induktionsspannung für folgende Werte:
$f=50 s^{-1}$, $\Phi_0=5\cdot 10^{-4} Vs$, $N=1000$
$U_{ind}(t)=-N\cdot \dot \Phi(t)$
Mit Hilfe der Kettenregel für Ableitungen bekommt man
$U_{ind}(t)=-N\cdot \Phi_0\cdot \omega \cdot \cos(\omega\cdot t)$
Einsetzen der Werte liefert
$U_{ind}(t)=-50\pi V\cdot \cos(100\pi s^{-1}\cdot t)$
Dabei wurde für die Frequenz $f$ die Beziehung $\omega=2\pi \cdot f$ verwendet.
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