Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer

Wir gehen nun dazu über eine Differentialgleichung für den Schwingkreis herzuleiten, die man auch als (elektromagnetische) Schwingungsdifferentialgleichung bezeichnet.

Zu der Herleitung gibt es im Wesentlichen zwei Methoden:

1. Man nutzt die Tatsache, dass die Gesamtenergie im Schwingkreis konstant ist.
2. Man nutzt die Kirchhoffsche Maschenregel.

Obwohl die erste Methode im Hinblick auf die Ideen der höheren Physik sehr attraktiv erscheint, nutzen wir hier die 2. Methode, die einen geringeren mathematischen Aufwand für die Herleitung bedeutet.

Methode (Ansatz über Kirchhoffsche Maschenregel)

Spannungen im Schwingkreis

Kirchhoffsche Maschenregel: Die Summe der Spannungen in einer Masche eines elektrischen Stromkreises ist Null.

$U_K$: Spannung über Kondensator

$U_S$: Spannung über Spule

$\Rightarrow U_S+U_K=0$

(Die Spannung $U_S$ über der Spule ist gerade ihrer Selbstinduktionsspannung entgegengesetzt.)

Mit den bekannten Gleichungen für die Spannungen einer Spule $U_S=L\cdot \dot I$ und eines Kondensators $U_K=\frac{Q}{C}$ bekommen wir

$L\cdot \dot I+ \frac{Q}{C}=0$.

Die Stormstärke $I$ ist laut Definition die zeitliche Ableitung der Ladung $Q$. Man hat also $I=\dot Q$ und damit

$\dot I=\ddot Q$.

Diese letzte Formel setzen wir in die obige Gleichung ein,

$L\cdot \ddot Q+\frac{1}{C}Q=0$.

Etwas umgeformt ergibt sich dann die gewünschte

Lösung der Differentialgleichung

Man beobachtet also eine Schwingung der Ladung $Q$. Das gleiche gilt für die Stromstärke $I$ und Spannung $U$.

Eigenfrequenz & Schwingungsdauer

Die so erhaltene Lösung ist vollständig konsistent mit unseren vorigen Ergebnissen. Noch bemerkenswerter ist, dass ein Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz $\omega$ der Schwingung, Kapazität $C$ und Induktivität $L$ besteht.

$\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}$

Mit Hilfe der bereits bekannten Formel $\omega=2\pi f$, bestimmt man die Eigenfrequenz $f$ und Schwingungsdauer $T$ der elektromagnetischen Schwingung