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Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer

Wir gehen nun dazu über eine Differentialgleichung für den Schwingkreis herzuleiten, die man auch als (elektromagnetische) Schwingungsdifferentialgleichung bezeichnet.

Zu der Herleitung gibt es im Wesentlichen zwei Methoden:

  1. Man nutzt die Tatsache, dass die Gesamtenergie im Schwingkreis konstant ist.
  2. Man nutzt die Kirchhoffsche Maschenregel.

Obwohl die erste Methode im Hinblick auf die Ideen der höheren Physik sehr attraktiv erscheint, nutzen wir hier die 2. Methode, die einen geringeren mathematischen Aufwand für die Herleitung bedeutet.

Methode (Ansatz über Kirchhoffsche Maschenregel)

Spannungen im Schwingkreis
Spannungen im Schwingkreis

Kirchhoffsche Maschenregel: Die Summe der Spannungen in einer Masche eines elektrischen Stromkreises ist Null.

$U_K$: Spannung über Kondensator

$U_S$: Spannung über Spule

$\Rightarrow U_S+U_K=0$

(Die Spannung $U_S$ über der Spule ist gerade ihrer Selbstinduktionsspannung entgegengesetzt.)

Mit den bekannten Gleichungen für die Spannungen einer Spule $U_S=L\cdot \dot I$ und eines Kondensators $U_K=\frac{Q}{C}$ bekommen wir

$L\cdot \dot I+ \frac{Q}{C}=0$.

Die Stormstärke $I$ ist laut Definition die zeitliche Ableitung der Ladung $Q$. Man hat also $I=\dot Q$ und damit

$\dot I=\ddot Q$.

Diese letzte Formel setzen wir in die obige Gleichung ein,

$L\cdot \ddot Q+\frac{1}{C}Q=0$.

Etwas umgeformt ergibt sich dann die gewünschte

Merke

Schwingungsdifferentialgleichung

$\ddot Q+\frac{1}{LC}Q=0$

Lösung der Differentialgleichung

Methode

Man kann diese Gleichung lösen, indem man folgenden Ansatz benutzt:

$Q(t)=Q_{max}\sin{(\omega t +\phi_0)}$.

Dabei ist $Q_{max}$ die maximale Ladung am Kondensator bzw. die Amplitude der Schwingung.

Setzt man nun diesen Ansatz in die obige Differentialgleichung ein und differenziert entsprechend, so steht am Ende der Rechnung zusammengefasst

$-\omega^2Q+\frac{1}{LC}Q=0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2=\frac{1}{LC} $

Man beobachtet also eine Schwingung der Ladung $Q$. Das gleiche gilt für die Stromstärke $I$ und Spannung $U$.

Eigenfrequenz & Schwingungsdauer

Die so erhaltene Lösung ist vollständig konsistent mit unseren vorigen Ergebnissen. Noch bemerkenswerter ist, dass ein Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz $\omega$ der Schwingung, Kapazität $C$ und Induktivität $L$ besteht.

$\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}$

Mit Hilfe der bereits bekannten Formel $\omega=2\pi f$, bestimmt man die Eigenfrequenz $f$ und Schwingungsdauer $T$ der elektromagnetischen Schwingung

Merke

Die elektromagnetische Schwingung hat die Eigenfrequenz

$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}$

und die Schwingungsdauer

$T=2\pi\sqrt{LC}$

Dies wird häufig auch als Thomson-Formel bezeichnet.

Multiple-Choice
Von welchen in der Liste aufgeführten Größen ist die Eigenfrequenz $f$ eines Schwingkreises unabhängig?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses ElektromagnetismusElektromagnetismus
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Elektromagnetismus

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  • Elektromagnetische Induktion
    • Einleitung zu Elektromagnetische Induktion
    • Induktion- Magnetischer Fluss
      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
      • Induktionsspannung- Induktionsgesetz
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      • Anwendungsprobleme zur Induktion
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    • Energie des magnetischen Feldes
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