abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Physik

Im Kurspaket Physik erwarten Dich:
  • 42 Lernvideos
  • 183 Lerntexte
  • 195 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben
gratis testen

Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer

Eine Bewegung und somit eine Schwingung kann auf eine Kraft $F$ zurückgeführt werden. Dabei gilt natürlich das Newtonsche Axiom

$F=m\cdot a$.

$m$ bezeichnet dabei die Masse und $a$ ist die Beschleunigung des Körpers. Die Beschleunigung $a$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$, und die Geschwindigkeit $v$ ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes bzw. in diesem Fall der Elongation $y$. Also folgt, dass die Beschleunigung des Körpers die zweifache zeitliche Ableitung von $y$ ist.

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 y}{dt^2}$

(oder auch so) $a=\dot v=\ddot y$.

Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung

Wir können also die Gleichung zunächst einmal so schreiben

$F=m\cdot \frac{d^2 y}{dt^2}$ bzw. $F=m\cdot \ddot y$

Doch was ist nun die Kraft $F$?

Man erinnere sich daran, dass für eine Feder das hookesche Gesetz (Kraftgesetz) gilt: Die Kraft $F$ ist proportional zur Auslenkung $y$ der Feder und die Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante $D$. Darüber hinaus fungiert die Kraft $F$ als rücktreibende Kraft des Systems; sie wirkt der Auslenkung entgegen und zwingt das System in die Ruhelage. Also

$F=-D\cdot y$.

Die Kombination dieser Gleichung mit der obigen Gleichung liefert nun das gesuchte Ergebnis:

$m\frac{d^2 y}{dt^2}=-Dy$ bzw. $m\ddot y=-Dy$

Differentialgleichung der harmonischen Schwingung eines Federpendels

Merke

$\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{D}{m}y=0$

oder auch in der dazu äquivalenten Notation

$\ddot y+\frac{D}{m}y=0$

Nur wenn ein System einer Schwingungsdifferentialgleichung der obigen Form gehorcht, handelt es sich um eine harmonische Schwingung.

Bei einem anderen mechanischen System (z. B. Fadenpendel) kann dabei freilich eine andere Konstante als $\frac{D}{m}$ in der Gleichung auftauchen. Dies hängt von den Konstanten des entsprechenden Kraftgesetzes ab.

Methode

Die Differentialgleichung wird durch folgenden Ansatz gelöst:

$y=y_{max}\sin{(\omega t+\phi_0)}$

Setzt man nun diesen Ansatz in die Schwingungsdifferentialgleichung ein, so resultiert:

$-\omega^2y+\frac{D}{m}y=0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2=\frac{D}{m}$

Eigenfrequenz & Schwingungsdauer

$\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$

Die Formel $\omega=2\pi f$ lässt sich nun verwenden, um die Eigenfrequenz $f$ sowie die Schwingungsdauer $T$ der Federschwingung zu berechnen.

Merke

Das Federpendel schwingt mit der Eigenfrequenz

$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}$

und damit der Schwingungsdauer

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$

Ergänzung- Dämpfung der Schwingung

Ein mechanisches System schwingt nur im Idealfall harmonisch. Durch Reibungsverluste kann das System an Energie verlieren und die Elongation bzw. Amplitude nimmt zeitlich ab. Man hat es dann mit einer gedämpften Schwingung zu tun. Dieses Verhalten kann man dem t-y-Diagramm der Schwingung entnehmen.

Multiple-Choice
Man möchte die Federkonstante einer Feder bestimmen, indem man das System in eine möglichst harmonische Schwingung versetzt.
Welche Größen müssen in einem Experiment zur Bestimmung der Federkonstanten gemessen werden bzw. bekannt sein?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses ElektromagnetismusElektromagnetismus
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Elektromagnetismus

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Elektromagnetische Induktion
    • Einleitung zu Elektromagnetische Induktion
    • Induktion- Magnetischer Fluss
      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
      • Induktionsspannung- Induktionsgesetz
      • Induktionsstrom- Lenzsche Regel
      • Anwendungsprobleme zur Induktion
    • Selbstinduktion
    • Energie des magnetischen Feldes
  • Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Einleitung zu Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Schwingungen
      • Einleitung zu Schwingungen
      • Charakteristische Größen
      • Energie - schwingendes System
      • Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    • Das Phänomen Welle
      • Einleitung zu Das Phänomen Welle
      • Grundbegriffe für Wellen
      • Eindimensionale Wellengleichung
      • Wellenphänomene: Reflexion, Brechung, Beugung
      • Wellenphänomen: Interferenz
        • Einleitung zu Wellenphänomen: Interferenz
        • Stehende Wellen
  • Elektromagnetische Schwingungen
    • Einleitung zu Elektromagnetische Schwingungen
    • Elektromagnetischer Schwingkreis
      • Einleitung zu Elektromagnetischer Schwingkreis
      • Energieerhaltung
      • Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    • Erzwungene Schwingung- Resonanz
    • Elektromagnetische und mechanische Schwingung-Vergleich
  • Elektromagnetische Wellen
    • Hertzscher Dipol
      • Einleitung zu Hertzscher Dipol
      • Feldverteilungen am Dipol
      • Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    • Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
      • Einleitung zu Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
      • Polarisation
      • Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
        • Einleitung zu Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
        • Interferenz- Doppelspalt
        • Interferenz- Gitter
  • 26
  • 5
  • 41
  • 31

Unsere Nutzer sagen:

  • Miriam

    Miriam

    "Ich finde abiweb.de sehr hilfreich und die Themen sehr gut erklärt!! Vielen Dank!!"
  • Jens

    Jens

    "Endlich habe ich es verstanden :) Ich schreibe morgen meine Klausur und denke, dass ich es nun kann :)"
  • Michaela

    Michaela

    "Vielen Dank:) Wäre schön wenn sich meine Lehrerin so viel Zeit für alles nehmen könnte."

NEU! Sichere dir jetzt die perfekte Prüfungsvorbereitung und spare 20% bei deiner Kursbuchung!

20% Coupon: abitur20

Zu den Online-Kursen