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Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer

Eine Bewegung und somit eine Schwingung kann auf eine Kraft $F$ zurückgeführt werden. Dabei gilt natürlich das Newtonsche Axiom

$F=m\cdot a$.

$m$ bezeichnet dabei die Masse und $a$ ist die Beschleunigung des Körpers. Die Beschleunigung $a$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$, und die Geschwindigkeit $v$ ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes bzw. in diesem Fall der Elongation $y$. Also folgt, dass die Beschleunigung des Körpers die zweifache zeitliche Ableitung von $y$ ist.

$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 y}{dt^2}$

(oder auch so) $a=\dot v=\ddot y$.

Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung

Wir können also die Gleichung zunächst einmal so schreiben

$F=m\cdot \frac{d^2 y}{dt^2}$ bzw. $F=m\cdot \ddot y$

Doch was ist nun die Kraft $F$?

Man erinnere sich daran, dass für eine Feder das hookesche Gesetz (Kraftgesetz) gilt: Die Kraft $F$ ist proportional zur Auslenkung $y$ der Feder und die Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante $D$. Darüber hinaus fungiert die Kraft $F$ als rücktreibende Kraft des Systems; sie wirkt der Auslenkung entgegen und zwingt das System in die Ruhelage. Also

$F=-D\cdot y$.

Die Kombination dieser Gleichung mit der obigen Gleichung liefert nun das gesuchte Ergebnis:

$m\frac{d^2 y}{dt^2}=-Dy$ bzw. $m\ddot y=-Dy$

Differentialgleichung der harmonischen Schwingung eines Federpendels

Merke

$\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{D}{m}y=0$

oder auch in der dazu äquivalenten Notation

$\ddot y+\frac{D}{m}y=0$

Nur wenn ein System einer Schwingungsdifferentialgleichung der obigen Form gehorcht, handelt es sich um eine harmonische Schwingung.

Bei einem anderen mechanischen System (z. B. Fadenpendel) kann dabei freilich eine andere Konstante als $\frac{D}{m}$ in der Gleichung auftauchen. Dies hängt von den Konstanten des entsprechenden Kraftgesetzes ab.

Methode

Die Differentialgleichung wird durch folgenden Ansatz gelöst:

$y=y_{max}\sin{(\omega t+\phi_0)}$

Setzt man nun diesen Ansatz in die Schwingungsdifferentialgleichung ein, so resultiert:

$-\omega^2y+\frac{D}{m}y=0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2=\frac{D}{m}$

Eigenfrequenz & Schwingungsdauer

$\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$

Die Formel $\omega=2\pi f$ lässt sich nun verwenden, um die Eigenfrequenz $f$ sowie die Schwingungsdauer $T$ der Federschwingung zu berechnen.

Merke

Das Federpendel schwingt mit der Eigenfrequenz

$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}$

und damit der Schwingungsdauer

$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$

Ergänzung- Dämpfung der Schwingung

Ein mechanisches System schwingt nur im Idealfall harmonisch. Durch Reibungsverluste kann das System an Energie verlieren und die Elongation bzw. Amplitude nimmt zeitlich ab. Man hat es dann mit einer gedämpften Schwingung zu tun. Dieses Verhalten kann man dem t-y-Diagramm der Schwingung entnehmen.

Lückentext
Löse den folgenden Lückentext zur Schwingung des Federpendels.
Ein Federpendel der $D$ und der Masse $m$ schwingt frei mit der sogenannten . Diese besondere Frequenz ist von der Amplitude der Schwingung.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

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Elektromagnetismus

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      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
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