Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
Eine Bewegung und somit eine Schwingung kann auf eine Kraft $F$ zurückgeführt werden. Dabei gilt natürlich das Newtonsche Axiom
$F=m\cdot a$.
$m$ bezeichnet dabei die Masse und $a$ ist die Beschleunigung des Körpers. Die Beschleunigung $a$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$, und die Geschwindigkeit $v$ ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes bzw. in diesem Fall der Elongation $y$. Also folgt, dass die Beschleunigung des Körpers die zweifache zeitliche Ableitung von $y$ ist.
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 y}{dt^2}$
(oder auch so) $a=\dot v=\ddot y$.
Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung
Wir können also die Gleichung zunächst einmal so schreiben
$F=m\cdot \frac{d^2 y}{dt^2}$ bzw. $F=m\cdot \ddot y$
Doch was ist nun die Kraft $F$?
Man erinnere sich daran, dass für eine Feder das hookesche Gesetz (Kraftgesetz) gilt: Die Kraft $F$ ist proportional zur Auslenkung $y$ der Feder und die Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante $D$. Darüber hinaus fungiert die Kraft $F$ als rücktreibende Kraft des Systems; sie wirkt der Auslenkung entgegen und zwingt das System in die Ruhelage. Also
$F=-D\cdot y$.
Die Kombination dieser Gleichung mit der obigen Gleichung liefert nun das gesuchte Ergebnis:
$m\frac{d^2 y}{dt^2}=-Dy$ bzw. $m\ddot y=-Dy$
Differentialgleichung der harmonischen Schwingung eines Federpendels
Merke
$\frac{d^2}{dt^2}y+\frac{D}{m}y=0$
oder auch in der dazu äquivalenten Notation
$\ddot y+\frac{D}{m}y=0$
Nur wenn ein System einer Schwingungsdifferentialgleichung der obigen Form gehorcht, handelt es sich um eine harmonische Schwingung.
Bei einem anderen mechanischen System (z. B. Fadenpendel) kann dabei freilich eine andere Konstante als $\frac{D}{m}$ in der Gleichung auftauchen. Dies hängt von den Konstanten des entsprechenden Kraftgesetzes ab.
Methode
Die Differentialgleichung wird durch folgenden Ansatz gelöst:
$y=y_{max}\sin{(\omega t+\phi_0)}$
Setzt man nun diesen Ansatz in die Schwingungsdifferentialgleichung ein, so resultiert:
$-\omega^2y+\frac{D}{m}y=0 \quad \Rightarrow \quad \omega^2=\frac{D}{m}$
Eigenfrequenz & Schwingungsdauer
$\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}$
Die Formel $\omega=2\pi f$ lässt sich nun verwenden, um die Eigenfrequenz $f$ sowie die Schwingungsdauer $T$ der Federschwingung zu berechnen.
Merke
Das Federpendel schwingt mit der Eigenfrequenz
$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}$
und damit der Schwingungsdauer
$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$
Ergänzung- Dämpfung der Schwingung
Ein mechanisches System schwingt nur im Idealfall harmonisch. Durch Reibungsverluste kann das System an Energie verlieren und die Elongation bzw. Amplitude nimmt zeitlich ab. Man hat es dann mit einer gedämpften Schwingung zu tun. Dieses Verhalten kann man dem t-y-Diagramm der Schwingung entnehmen.
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