abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Physik

Im Kurspaket Physik erwarten Dich:
  • 43 Lernvideos
  • 200 Lerntexte
  • 208 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben

Eindimensionale Wellengleichung

Schwingungen und Wellen - Grundlagen / Das Phänomen Welle

Die Ausbreitung einer Welle in einer Raum-und Zeitdimension wird mathematisch durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben.

Herleitung aus der Momentanaufnahme einer Welle

Um diese Wellengleichung herzuleiten, wollen wir die Momentanaufnahme einer Welle anschauen.

Räumliche Verteilung der Welle
Räumliche Verteilung der Welle

Wir interessieren uns für den Einzelschwinger im Abstand $x$ vom Erregerzentrum. Nehmen wir an, dass die Zeit $t_1$ vergeht, bis die Welle den Punkt im Abstand $x$ erreicht. Dann vollführt die Masse (grün gekennzeichnet) ab diesem Zeitpunkt $t_1$ eine harmonische Schwingung; es gilt

$y(t)=A\sin{\omega(t-t_1)}$.

Nun wissen wir aber, dass die Strecke $x$ in der Zeit $t_1$ mit einer gewissen Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ durchlaufen wurde. Das bedeutet

$x=v\cdot t_1 \quad \Rightarrow t_1=\frac{x}{v}$.

Mit Hilfe der Beziehung $v=\lambda\cdot f=\lambda\frac{1}{T}$ für Wellen, ist das Resultat für die Zeit $t_1$

$t_1=\frac{x\cdot T}{\lambda}$.

Dies setzen wir in die obige Schwingungsgleichung ein und berücksichtigen noch für die Umformung, dass $\omega=\frac{2\pi}{T}$ gilt.

$\Rightarrow y(t,x)=A\sin{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})}$

Diese Gleichung gilt aber nicht nur für den gekennzeichneten Punkt, sondern für alle Punkte der Welle. Wir haben ja einen beliebigen Punkt der Welle ausgesucht.

Zusammenfassung

Merke

Die räumliche und zeitliche Verteilung einer (eindimensionalen) Welle wird durch die Gleichung (Wellengleichung)

$y(t,x)=A\sin{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})}$

beschrieben. Es handelt sich hierbei um eine Funktion von zwei Variablen, nämlich von der Zeit $t$ und von dem Ort $x$.

Um also die Welle mit Hilfe der obigen Gleichung beschreiben zu können, benötigt man neben der Amplitude $A$ die beiden Größen:

  • Schwingungsdauer $T$
  • Wellenlänge $\lambda$

Hinweis

Es kann vorkommen, dass in manchen Abituraufgaben diese Größen nicht explizit gegeben sind. In diesem Fall müssen Wellenlänge und Schwingungsdauer aus den entsprehenden Diagrammen abgelesen werden. Die Schwingungsdauer bestimmt man mit Hilfe des t-y-Diagramms, die Wellenlänge mit Hilfe des x-y-Diagramms.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Elektromagnetismus

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Elektromagnetische Induktion
    • Einleitung zu Elektromagnetische Induktion
    • Induktion- Magnetischer Fluss
      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
      • Induktionsspannung- Induktionsgesetz
      • Induktionsstrom- Lenzsche Regel
      • Anwendungsprobleme zur Induktion
    • Selbstinduktion
    • Energie des magnetischen Feldes
  • Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Einleitung zu Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Schwingungen
      • Einleitung zu Schwingungen
      • Charakteristische Größen
      • Energie - schwingendes System
      • Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    • Das Phänomen Welle
      • Einleitung zu Das Phänomen Welle
      • Grundbegriffe für Wellen
      • Eindimensionale Wellengleichung
      • Wellenphänomene: Reflexion, Brechung, Beugung
      • Wellenphänomen: Interferenz
        • Einleitung zu Wellenphänomen: Interferenz
        • Stehende Wellen
  • Elektromagnetische Schwingungen
    • Einleitung zu Elektromagnetische Schwingungen
    • Elektromagnetischer Schwingkreis
      • Einleitung zu Elektromagnetischer Schwingkreis
      • Energieerhaltung
      • Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    • Erzwungene Schwingung- Resonanz
    • Elektromagnetische und mechanische Schwingung-Vergleich
  • Elektromagnetische Wellen
    • Hertzscher Dipol
      • Einleitung zu Hertzscher Dipol
      • Feldverteilungen am Dipol
      • Wellenausbreitung eines strahlenden Dipols
    • Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
      • Einleitung zu Eigenschaften elektromagnetischer Wellen
      • Polarisation
      • Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
        • Einleitung zu Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
        • Interferenz- Doppelspalt
        • Interferenz- Gitter
  • 32
  • 6
  • 80
  • 32