Eindimensionale Wellengleichung
Die Ausbreitung einer Welle in einer Raum-und Zeitdimension wird mathematisch durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben.
Herleitung aus der Momentanaufnahme einer Welle
Um diese Wellengleichung herzuleiten, wollen wir die Momentanaufnahme einer Welle anschauen.
Wir interessieren uns für den Einzelschwinger im Abstand $x$ vom Erregerzentrum. Nehmen wir an, dass die Zeit $t_1$ vergeht, bis die Welle den Punkt im Abstand $x$ erreicht. Dann vollführt die Masse (grün gekennzeichnet) ab diesem Zeitpunkt $t_1$ eine harmonische Schwingung; es gilt
$y(t)=A\sin{\omega(t-t_1)}$.
Nun wissen wir aber, dass die Strecke $x$ in der Zeit $t_1$ mit einer gewissen Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ durchlaufen wurde. Das bedeutet
$x=v\cdot t_1 \quad \Rightarrow t_1=\frac{x}{v}$.
Mit Hilfe der Beziehung $v=\lambda\cdot f=\lambda\frac{1}{T}$ für Wellen, ist das Resultat für die Zeit $t_1$
$t_1=\frac{x\cdot T}{\lambda}$.
Dies setzen wir in die obige Schwingungsgleichung ein und berücksichtigen noch für die Umformung, dass $\omega=\frac{2\pi}{T}$ gilt.
$\Rightarrow y(t,x)=A\sin{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})}$
Diese Gleichung gilt aber nicht nur für den gekennzeichneten Punkt, sondern für alle Punkte der Welle. Wir haben ja einen beliebigen Punkt der Welle ausgesucht.
Zusammenfassung
Merke
Die räumliche und zeitliche Verteilung einer (eindimensionalen) Welle wird durch die Gleichung (Wellengleichung)
$y(t,x)=A\sin{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})}$
beschrieben. Es handelt sich hierbei um eine Funktion von zwei Variablen, nämlich von der Zeit $t$ und von dem Ort $x$.
Um also die Welle mit Hilfe der obigen Gleichung beschreiben zu können, benötigt man neben der Amplitude $A$ die beiden Größen:
- Schwingungsdauer $T$
- Wellenlänge $\lambda$
Hinweis
Es kann vorkommen, dass in manchen Abituraufgaben diese Größen nicht explizit gegeben sind. In diesem Fall müssen Wellenlänge und Schwingungsdauer aus den entsprehenden Diagrammen abgelesen werden. Die Schwingungsdauer bestimmt man mit Hilfe des t-y-Diagramms, die Wellenlänge mit Hilfe des x-y-Diagramms.
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