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Eindimensionale Wellengleichung

Die Ausbreitung einer Welle in einer Raum-und Zeitdimension wird mathematisch durch die eindimensionale Wellengleichung beschrieben.

Herleitung aus der Momentanaufnahme einer Welle

Um diese Wellengleichung herzuleiten, wollen wir die Momentanaufnahme einer Welle anschauen.

Räumliche Verteilung der Welle
Räumliche Verteilung der Welle

Wir interessieren uns für den Einzelschwinger im Abstand $x$ vom Erregerzentrum. Nehmen wir an, dass die Zeit $t_1$ vergeht, bis die Welle den Punkt im Abstand $x$ erreicht. Dann vollführt die Masse (grün gekennzeichnet) ab diesem Zeitpunkt $t_1$ eine harmonische Schwingung; es gilt

$y(t)=A\sin{\omega(t-t_1)}$.

Nun wissen wir aber, dass die Strecke $x$ in der Zeit $t_1$ mit einer gewissen Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ durchlaufen wurde. Das bedeutet

$x=v\cdot t_1 \quad \Rightarrow t_1=\frac{x}{v}$.

Mit Hilfe der Beziehung $v=\lambda\cdot f=\lambda\frac{1}{T}$ für Wellen, ist das Resultat für die Zeit $t_1$

$t_1=\frac{x\cdot T}{\lambda}$.

Dies setzen wir in die obige Schwingungsgleichung ein und berücksichtigen noch für die Umformung, dass $\omega=\frac{2\pi}{T}$ gilt.

$\Rightarrow y(t,x)=A\sin{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})}$

Diese Gleichung gilt aber nicht nur für den gekennzeichneten Punkt, sondern für alle Punkte der Welle. Wir haben ja einen beliebigen Punkt der Welle ausgesucht.

Zusammenfassung

Merke

Die räumliche und zeitliche Verteilung einer (eindimensionalen) Welle wird durch die Gleichung (Wellengleichung)

$y(t,x)=A\sin{2\pi(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda})}$

beschrieben. Es handelt sich hierbei um eine Funktion von zwei Variablen, nämlich von der Zeit $t$ und von dem Ort $x$.

Um also die Welle mit Hilfe der obigen Gleichung beschreiben zu können, benötigt man neben der Amplitude $A$ die beiden Größen:

  • Schwingungsdauer $T$
  • Wellenlänge $\lambda$

Gut zu wissen

Es kann vorkommen, dass in manchen Abituraufgaben diese Größen nicht explizit gegeben sind. In diesem Fall müssen Wellenlänge und Schwingungsdauer aus den entsprehenden Diagrammen abgelesen werden. Die Schwingungsdauer bestimmt man mit Hilfe des t-y-Diagramms, die Wellenlänge mit Hilfe des x-y-Diagramms.

Multiple-Choice
Eine Welle bewege sich nun von rechts nach links (also in negative $x$-Richtung). Ihre Amplitude sei $A$, die Wellenlänge $\lambda$ und die Schwingungsdauer $T$.
Wie lautet die Wellengleichung?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Man versuche die Wellengleichung abzuleiten.

Vorstellung des Online-Kurses ElektromagnetismusElektromagnetismus
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Elektromagnetismus

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Elektromagnetische Induktion
    • Einleitung zu Elektromagnetische Induktion
    • Induktion- Magnetischer Fluss
      • Einleitung zu Induktion- Magnetischer Fluss
      • Induktionsspannung- Induktionsgesetz
      • Induktionsstrom- Lenzsche Regel
      • Anwendungsprobleme zur Induktion
    • Selbstinduktion
    • Energie des magnetischen Feldes
  • Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Einleitung zu Schwingungen und Wellen - Grundlagen
    • Schwingungen
      • Einleitung zu Schwingungen
      • Charakteristische Größen
      • Energie - schwingendes System
      • Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    • Das Phänomen Welle
      • Einleitung zu Das Phänomen Welle
      • Grundbegriffe für Wellen
      • Eindimensionale Wellengleichung
      • Wellenphänomene: Reflexion, Brechung, Beugung
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