Verständnis der Ableitung
Die Ableitung, genauer gesagt die Tangentensteigungsfunktion, ist für die Oberstufe unglaublich wichtig. Je besser verstanden wird, was die Ableitung ist und wie sie berechnet wird, um so leichter werden uns später die Aufgaben dazu fallen. Daher werden in diesem Kapitel die Ableitung und die Ableitungsregeln ausführlich erklärt.
Wozu ist die Ableitung aber gut? Braucht man sie irgendwann?
Innermathematisch braucht man die Ableitung um Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder Wendepunkte von Funktionen bzw. Graphen zu berechnen.
Wo begnet uns die Ableitung im Alltag?
In vielen Diagrammen hat die Ableitung die Bedeutung einer Geschwindigkeit oder Zuwachs- bzw. Abnahmerate.
Hier ein kleines Beispiel.
Beispiel für die Verwendung der Ableitung
Im ersten Diagramm ist das Gewicht eines Babies für jeden Tag ab seiner Geburt eingetragen. Die Steigung dieser Kurve gibt an, wie sich die Gewichtszunahme pro Tag entwickelt hat.
Es ist zu erkennen, dass die Steigung zu Beginn etwas steiler ist als am Ende. Das bedeutet, dass das Baby am Anfang mehr g/Tag zugenommen hat als am Ende.
Doch wieviel genau? Über Steigungsdreiecke könnte man die durchschnittliche Zunahme zwischen einzelnen Tagen berechnen.
Das für alle Tage zu wiederholen ist aber sehr mühsam. Hier hilft die Ableitung!
Wenn man für die blaue Kurve mittels Regression eine Funktionsgleichung erstellt und diese ableitet, erhält man die rote Kurve, den sogenannten Ableitungsgraph.
In diesem Ableitungsgraph sind für jeden Tag die "Steigungen" eingetragen und können gleich abgelesen werden.
Die Ableitung ist hier die Geschwindigkeit wie das Gewicht zunimmt. Zu Beginn ist die Geschwindigkeit der Zunahme hoch (ca. 80 g/Tag) nach 90 Tage liegt die Zunahmerate nur noch bei 40 g/Tag.
Allgemeine Bedeutungen der Ableitung
Bei allen Diagrammen, die auf der x-Achse die Zeit abgetragen haben, ist die Steigung also die Ableitung des Graphen gleichbedeutend mit einer Geschwindigkeit.
Merke
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
Dieses Dokument Verständnis der Ableitung ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).
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