Schwingungen
Um eine mathematische Analyse der elektromagnetischen Schwingungen zu ermöglichen, sollten wir mit einer Beschreibung der Schwingung in der Mechanik starten. Dabei spielt die harmonische Schwingung eine besondere Rolle.
Harmonische Schwingung
Merke
Bei der harmonischen Schwingung handelt es sich um eine besondere Form der Schwingung, bei der keine Energie an die Umgebung verloren geht. Es findet eine zeitlich periodische Umwandlung zwischen zwei Energieformen (z. B. potentieller und kinetischer Energie) statt.
Man kann sich zum Verständnis der harmonischen Schwingung ein Federpendel anschauen. Dabei sollte man sich der Tatsache bewusst sein, dass dies nicht das einzige Beispiel ist.
Darstellung als trigonometrische Funktion
Es zeigt sich, dass die harmonische Schwingung durch eine Sinuskurve bzw. Sinusfunktion darstellbar ist.
Merke
Die allgemeine Formel für eine Sinusfunktion lautet, wie aus der Mathematik bekannt,
$y(t)=A\cdot \sin(\omega t+\phi_0)$.
Diese Formel gilt für alle harmonischen Schwingungen, wie wir noch später für zahlreiche Beispiele sehen werden.
Beispiel
Als einführendes Beispiel wollen wir nun folgendes einfache Problem lösen.
Betrachte die obige Momentanaufnahme des Federpendels und versuche die Größen $A$, $\omega$ und $\phi_0$ zu bestimmen.
Lösung:
$A=2$ (maximale Elongation/Amplitude).
Für $t=0$ ist die Auslenkung $y(0)=-2$ und die Gleichung lautet
$y(0)=A\sin(\phi_0)=2\sin(\phi_0)=-2$,
$\Rightarrow \phi_0=-\frac{\pi}{2}$ (Verschiebung der Sinuskurve auf der $t$-Achse/Phasenwinkel)
Man nehme an, dass die Zeit $t$ in Sekunden (s) aufgezeichnet ist. Dann sieht man, dass nach 11 s die Auslenkung $y$ Null ist. Dann lautet die Gleichung
$y(11)=2\cdot \sin(\omega\cdot 11-\frac{\pi}{2})=0$
$\Rightarrow 11\omega-\frac{\pi}{2}=n\pi$ (allg. Nullstellen der Sinusfunktion)
Nach 11 s hat man $n=3$ zu setzen (ergibt sich aus der Anzahl ganzer Schwingungen bis zum Erreichen der 11. Sekunde). Also
$11\omega-\frac{\pi}{2}=3\pi$,
woraus bei Berücksichtigung der Einheiten folgt
$\Rightarrow \omega=\frac{7\pi}{22}s^{-1}\approx 1s^{-1}$.
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