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Energiezustände im Potentialtopf

Atommodelle
Moderne Atommodelle der Quantenmechanik / Der eindimensionale Potentialtopf

Betrachten wir nun die Energiezustände des Teilchens bzw. Elektrons, die aus dem eindimensionalen Potentialtopf resultieren.

Zusammensetzung der Energie

Die gesamte Energie des Teilchens setzt sich bekanntlich aus seiner potentiellen Energie $E_{pot}$ und der kinetischen Energie $E_{kin}$ zusammen. Innerhalb des Topfs ist $E_{pot}=0$, woraus man

$E=E_{pot}+E_{kin}=E_{kin}$

bekommt. Die allgemeine Formel für die kinetische Energie $E_{kin}$ kennen wir bereits aus der klassischen Mechanik

$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$,

wobei $m$ Masse und $v$ Geschwindigkeit des Teilchens bezeichnen. Weiterhin gibt es noch die  Beziehung $p=mv$ für den Impuls eines Teilchens. Entsprechendes Einsetzen in die obige klassische Formel für den Impuls liefet

$E_{kin}=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}$.

Nun kommt ein wesentliches Element der Quantentheorie zum Einsatz.

Einfluss der Quantentheorie: Welle-Teilchen-Dualismus

Die De-Broglie Relation, die einen Zusammenhang zwischen dem Impuls $p$ eines Teilchens und seiner zugeordneten Wellenlänge $\lambda$ oder auch Wellenzahl $k$ herstellt, liefert

$p=\hbar k=\frac{h}{2\pi}k$.

Die Formel für die Wellenzahl $k$ haben wir auf der vorigen Seite aus entsprechenden Randbedingung, die im Kasten gelten, bestimmt: $k=n\frac{\pi}{a}$.

$\Rightarrow p=n\frac{h}{2a}$

Die so gewonnene Formel für den Impuls $p$ setzen wir in die Gleichung für die kinetische Energie des Teilchens ein und bekommen so natürlich die Gesamtenergie $E$ des Teilchens im Kasten

$\Rightarrow E=\frac{1}{2}n^2\frac{h^2}{4a^2m}=\frac{h^2}{8ma^2}n^2$.

Diskrete Energiezustände im eindimensionalen Potentialtopf (Kasten)

Merke

Die gesamte Energie $E$ eines Teilchens innerhalb des Kastens ist durch

$E_n=\frac{h^2}{8ma^2}n^2, \quad n\in \mathbb N$

gegeben. Dadurch ist ein theoretisch begründetes Modell der Quantenmechanik gegeben, in dem die Energie quantisiert ist. Das bedeutet, dass nur bestimmte Energien $E_n$ des Teilchens erlaubt sind, die durch eine natürliche Zahl $n$ bestimmt sind.

Multiple-Choice
Der eindimensionale Potentialtopf (Durchmesser $a$) soll nun als Modell für ein atomares/molekulares System dienen. Dieses System soll nun nach einer entsprechenden Anregung Licht emittieren.
Welche Frequenz $f$ kann das emittierte Licht annehmen, wenn das System zuvor von dem Energiezustand $n_1$ auf den Energiezustand $n_2$ angehoben wurde?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses Atomphysik und KernphysikAtomphysik und Kernphysik
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Atomphysik und Kernphysik

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