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Energiezustände im Potentialtopf

Atommodelle
Moderne Atommodelle der Quantenmechanik / Der eindimensionale Potentialtopf
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Betrachten wir nun die Energiezustände des Teilchens bzw. Elektrons, die aus dem eindimensionalen Potentialtopf resultieren.

Zusammensetzung der Energie

Die gesamte Energie des Teilchens setzt sich bekanntlich aus seiner potentiellen Energie $E_{pot}$ und der kinetischen Energie $E_{kin}$ zusammen. Innerhalb des Topfs ist $E_{pot}=0$, woraus man

$E=E_{pot}+E_{kin}=E_{kin}$

bekommt. Die allgemeine Formel für die kinetische Energie $E_{kin}$ kennen wir bereits aus der klassischen Mechanik

$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$,

wobei $m$ Masse und $v$ Geschwindigkeit des Teilchens bezeichnen. Weiterhin gibt es noch die  Beziehung $p=mv$ für den Impuls eines Teilchens. Entsprechendes Einsetzen in die obige klassische Formel für den Impuls liefet

$E_{kin}=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}$.

Nun kommt ein wesentliches Element der Quantentheorie zum Einsatz.

Einfluss der Quantentheorie: Welle-Teilchen-Dualismus

Die De-Broglie Relation, die einen Zusammenhang zwischen dem Impuls $p$ eines Teilchens und seiner zugeordneten Wellenlänge $\lambda$ oder auch Wellenzahl $k$ herstellt, liefert

$p=\hbar k=\frac{h}{2\pi}k$.

Die Formel für die Wellenzahl $k$ haben wir auf der vorigen Seite aus entsprechenden Randbedingung, die im Kasten gelten, bestimmt: $k=n\frac{\pi}{a}$.

$\Rightarrow p=n\frac{h}{2a}$

Die so gewonnene Formel für den Impuls $p$ setzen wir in die Gleichung für die kinetische Energie des Teilchens ein und bekommen so natürlich die Gesamtenergie $E$ des Teilchens im Kasten

$\Rightarrow E=\frac{1}{2}n^2\frac{h^2}{4a^2m}=\frac{h^2}{8ma^2}n^2$.

Diskrete Energiezustände im eindimensionalen Potentialtopf (Kasten)

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Die gesamte Energie $E$ eines Teilchens innerhalb des Kastens ist durch

$E_n=\frac{h^2}{8ma^2}n^2, \quad n\in \mathbb N$

gegeben. Dadurch ist ein theoretisch begründetes Modell der Quantenmechanik gegeben, in dem die Energie quantisiert ist. Das bedeutet, dass nur bestimmte Energien $E_n$ des Teilchens erlaubt sind, die durch eine natürliche Zahl $n$ bestimmt sind.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Atomphysik und Kernphysik

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    • Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms
      • Einleitung zu Emissionsspektrum des Wasserstoffatoms
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