Energiezustände im Potentialtopf

Betrachten wir nun die Energiezustände des Teilchens bzw. Elektrons, die aus dem eindimensionalen Potentialtopf resultieren.

Zusammensetzung der Energie

Die gesamte Energie des Teilchens setzt sich bekanntlich aus seiner potentiellen Energie $E_{pot}$ und der kinetischen Energie $E_{kin}$ zusammen. Innerhalb des Topfs ist $E_{pot}=0$, woraus man

$E=E_{pot}+E_{kin}=E_{kin}$

bekommt. Die allgemeine Formel für die kinetische Energie $E_{kin}$ kennen wir bereits aus der klassischen Mechanik

$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$,

wobei $m$ Masse und $v$ Geschwindigkeit des Teilchens bezeichnen. Weiterhin gibt es noch die  Beziehung $p=mv$ für den Impuls eines Teilchens. Entsprechendes Einsetzen in die obige klassische Formel für den Impuls liefet

$E_{kin}=\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}$.

Nun kommt ein wesentliches Element der Quantentheorie zum Einsatz.

Einfluss der Quantentheorie: Welle-Teilchen-Dualismus

Die De-Broglie Relation, die einen Zusammenhang zwischen dem Impuls $p$ eines Teilchens und seiner zugeordneten Wellenlänge $\lambda$ oder auch Wellenzahl $k$ herstellt, liefert

$p=\hbar k=\frac{h}{2\pi}k$.

Die Formel für die Wellenzahl $k$ haben wir auf der vorigen Seite aus entsprechenden Randbedingung, die im Kasten gelten, bestimmt: $k=n\frac{\pi}{a}$.

$\Rightarrow p=n\frac{h}{2a}$

Die so gewonnene Formel für den Impuls $p$ setzen wir in die Gleichung für die kinetische Energie des Teilchens ein und bekommen so natürlich die Gesamtenergie $E$ des Teilchens im Kasten

$\Rightarrow E=\frac{1}{2}n^2\frac{h^2}{4a^2m}=\frac{h^2}{8ma^2}n^2$.

Diskrete Energiezustände im eindimensionalen Potentialtopf (Kasten)