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Lineare Gleichungen lösen

Die linearen Gleichungen sind die einfachsten zu lösenden Gleichungen. lineare Gleichungen erkennt man daran, dass in der Gleichung nur Zahlen und eine Variable - zum Beispiel x - stehen (kein x², x³ usw.).

Methode

Um lineare Gleichungen zu lösen benötigt man nur die Grundrechenarten, also die mathematischen Operationen: $+, -, \cdot,:$

Ziel des Gleichungslösens ist es, die Variable x (kann aber aber auch einen anderen Namen haben wie z. B. a, y, z u.s.w) herauszubekommen. Dazu muss man die Gleichung so umstellen, dass auf der einen Seite nur noch die Variable steht.

Merke

Das Wichtigste beim Lösen einer Gleichung ist, dass die Operation, die durchgeführt werden soll, immer auf beiden Seiten der Gleichung gemacht wird. Das nennt sich Äquivalenzumformung (äquivalent = gleichwertig), die Aussage (auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens steht der gleiche Wert) bleibt nach der Umformung erhalten.

Merke

Ist x und eine Zahl mit + verknüpft muss - diese Zahl gerechnet werden. (Beispiel 1 und Beispiel 2)
Ist x und eine Zahl mit $\cdot$ verknüpft, muss : diese Zahl gerechnet werden. (Beispiel 3 und Beispiel 4)
Es wird also immer die Umkehroperation durchgeführt.

Beispiel

Beispiel 1

$x+5=7$
Nach x umstellen

Um x zu eliminieren muss die 5 weg, da x und die 5 mit + verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung - 5 gerechnet.

$x+5=7  \vert -5$
$x=7-5$
$x=2$

Beispiel

Beispiel 2

$x-3=-4$
nach x umstellen

Um x zu eliminieren muss die 3 weg, da x und die 3 mit - verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung + 3 gerechnet.

$x-3=-4  \vert +3$
$x=-4+3$
$x=-1$

Beispiel

Beispiel 3 

$2x=8$
nach x umstellen

Um x zu eliminieren muss die 2 weg, da x und die 2 mit $\cdot$ verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung : 2 gerechnet.

$2x=8  \vert: 2$
$x=8\vert:2$
$x=4$

Beispiel

Beispiel 4

$\frac{x}{4}$=-3

Um x zu eliminieren muss die 4 weg, da x und die 4 mit einem Bruchstrich also mit : verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung $\cdot$ 4 gerechnet.

$\frac{x}{4}=-3  \vert \cdot 4$
$x=-3 \cdot 4$
$x=-12$

Meistens sind die Gleichungen nicht so einfach, sondern sehen z.B so aus:

$3\cdot(4x+2)=7x-2$

Hier ist folgende Reihenfolge sinnvoll:

  1. Klammern auflösen
    $12x+6=7x-2$
  2. Gleichung sortieren (alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere Seite)
    $12x-7x=-2-6$
  3. Terme mit x und Zahlen zusammenfassen
    $5x=-8$
  4. nach x- auflösen durch :5
    $x=\frac{-8}{5}$=-$\frac{8}{5}$

Zuerst die Operationen + und - anwenden, danach erst $\cdot$ und $:$ , so ist es einfacher. Wir nähern uns also der Variablen Schritt für Schritt von außen an.

Multiple-Choice
Lösen Sie die Gleichung 6$\cdot$(2x-4)=2-5x auf einem Zettel nach x auf und kreuzen die richtige Lösung an.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Lineare Gleichungen lösen ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Vorkenntnisse zur Analysis.

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
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    • Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem
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