Lineare Gleichungen lösen
Die linearen Gleichungen sind die einfachsten zu lösenden Gleichungen. Lineare Gleichungen erkennt man daran, dass in der Gleichung nur Zahlen und eine Variable - zum Beispiel x - stehen (kein x², x³ usw.).
Methode
Um lineare Gleichungen zu lösen benötigt man nur die Grundrechenarten, also die mathematischen Operationen: $+, -, \cdot,:$
Ziel des Gleichungslösens ist es, die Variable x (kann aber aber auch einen anderen Namen haben wie z. B. a, y, z u.s.w) herauszubekommen. Dazu muss man die Gleichung so umstellen, dass auf der einen Seite nur noch die Variable steht.
Merke
Merke
Ist x und eine Zahl mit $\cdot$ verknüpft, muss : diese Zahl gerechnet werden. (Beispiel 3 und Beispiel 4)
Es wird also immer die Umkehroperation durchgeführt.
Beispiel
Beispiel 1
$x+5=7$
Nach x umstellen
Um x zu eliminieren muss die 5 weg, da x und die 5 mit + verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung - 5 gerechnet.
$x+5=7 \vert -5$
$x=7-5$
$x=2$
Beispiel
Beispiel 2
$x-3=-4$
nach x umstellen
Um x zu eliminieren muss die 3 weg, da x und die 3 mit - verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung + 3 gerechnet.
$x-3=-4 \vert +3$
$x=-4+3$
$x=-1$
Beispiel
Beispiel 3
$2x=8$
nach x umstellen
Um x zu eliminieren muss die 2 weg, da x und die 2 mit $\cdot$ verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung : 2 gerechnet.
$2x=8 \vert: 2$
$x=8\vert:2$
$x=4$
Beispiel
Beispiel 4
$\frac{x}{4}$=-3
Um x zu eliminieren muss die 4 weg, da x und die 4 mit einem Bruchstrich also mit : verbunden sind, wird auf beiden Seiten der Gleichung $\cdot$ 4 gerechnet.
$\frac{x}{4}=-3 \vert \cdot 4$
$x=-3 \cdot 4$
$x=-12$
Meistens sind die Gleichungen nicht so einfach, sondern sehen z.B so aus:
$3\cdot(4x+2)=7x-2$
Hier ist folgende Reihenfolge sinnvoll:
- Klammern auflösen
$12x+6=7x-2$ - Gleichung sortieren (alle x auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere Seite)
$12x-7x=-2-6$ - Terme mit x und Zahlen zusammenfassen
$5x=-8$ - nach x- auflösen durch :5
$x=\frac{-8}{5}$=-$\frac{8}{5}$
Zuerst die Operationen + und - anwenden, danach erst $\cdot$ und $:$ , so ist es einfacher. Wir nähern uns also der Variablen Schritt für Schritt von außen an.
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