Arbeit im elektrischen Feld
Beginnen wir mit einer allgemeinen Definition des Begriffs Energie. Man entsinne sich zum Beispiel der Definition der Energie im Bereich der klassischen Mechanik, wie er im Physikunterricht behandelt wurde.
Merke
Die Energie eines physikalischen Systems beschreibt seine Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Oder verkürzt: Energie ist die Fähigkeit Arbeit zu verrichten. Die Einheit, in der Energie/Arbeit gemessen werden, ist Joule ($J$). Dabei gilt folgende Umrechnung:
$1 J=1\ Nm= 1\ kg\ m^2 s^{-2}$
Im denkbar einfachsten Fall ist die geleistete Arbeit $W$ dabei gleich dem Produkt aus dem Betrag $F$ der Kraft und der Länge $s$ des Weges: Zeigen nämlich Kraftvektor $\vec{F}$ und Wegvektor $\vec{s}$ in die gleiche Richtung und ist die Kraft längs des Weges konstant, so gilt:
$W=F\cdot s$
Es stellt sich die Frage, wie sich die Beziehung verändert, falls die obigen Voraussetzungen in einem bestimmten Fall nicht zutreffen sollten.
Nehmen wir an, dass die Kraft zwar betraglich konstant ist, aber in eine andere Richtung als der Wegvektor $\vec{s}$ zeigt. Dann ist die gesamte aufgebrachte Arbeit das Skalarprodukt aus $\vec{F}$ und $\vec{s}$:
$W=\vec{F}\cdot \vec{s}=F\cdot s\cdot \cos\alpha$
Die rechte Seite der Gleichung ergibt sich aus elementaren Regeln des Skalarprodukts in der Vektorrechnung, wobei $\alpha$ den Winkel zwischen der Kraft- und Wegrichtung bezeichnet.
Hinweis
Der allgemeine Fall berücksichtigt sowohl die Richtungs- als auch Betragsänderung der Kraft $\vec{F}$ längs eines Weges. Wird der Weg durch eine Kurve $C$ beschrieben, so ist die Arbeit als Integral darstellbar:
$W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{C}F\cdot \cos\alpha\, ds $
Man spricht von einem Kurvenintegral. Die Bemerkung zum Kurvenintegral sollte an dieser Stelle als Nebeninformation betrachtet werden, da wir nicht mit solchen allgemeinen Integralen weiter operieren werden. Wer jedoch Freude an neuen physikalisch- mathematischen Formeln hat, dem soll diese Anmerkung als Anregung dienen.
Beispiel
Arbeit an einer Punktladung im Plattenkondensator
Nehmen wir an, dass der Abstand der Kondensatorplatten $d$ ist. Eine Punktladung $q$ werde nun von einer Kondensatorplatte zur anderen befördert. Man sagt auch, dass das elektrische Feld am Körper eine Arbeit verrichtet.
Die dabei wirkende elektrische Kraft ist $\vec{F}=q\vec{E}$ und laut unserer Ergebnisse in Richtung und Betrag aufgrund der Homogenität des elektrischen Feldes konstant. Da die Punktladung in Feldrichtung bewegt wird, zeigen Weg- und Kraftvektor in die gleiche Richtung. Der durchlaufene Weg ist natürlich gleich $d$. Damit erhält man:
$W=F\cdot d=qE\cdot d$
Das einfache Beispiel zeigt, dass geladene Körper aus elektrischen Feldern Energie gewinnen können. Denn im Beispiel verrichtet das homogene elektrische Feld des Plattenkondensators Arbeit an der Punktladung, die dann in kinetische Energie (Bewegungsenergie) der Ladung übergeht.
Es zeigt sich, dass es zwischen der elektrischen Arbeit $W$, der Ladung $q$ und der Spannung $U$ eine fundamentale Beziehung gibt.
Merke
Sei $U$ eine Spannung zwischen zwei Raumpunkten $A$ und $B$. Bewegt man nun eine Ladung $q$ zwischen diesen Punkten, so wird entweder Energie frei oder es muss Energie zugeführt werden. In beiden Fällen ist der Betrag der Energie/Arbeit $W$ gleich und beträgt:
$W=qU$
Aus dieser Formel ergibt sich nun eine Definition für die Einheit der Spannung: 1 Volt ist nämlich diejenige Spannung, die benötigt wird, um einer Ladung von 1 Coulomb eine Energie von 1 Joule zu verleihen.
$1V=1\frac{J}{C}$
Kombinieren wir nun diese Aussage mit der bereits berechneten Arbeit im Plattenkondensator:
$W=qU=qE\cdot d\\ \Rightarrow E=\frac{U}{d}.$
Mit Hilfe dieser Relation und der Definition der Einheit der Spannung lässt sich eine neue Einheit für die elektrische Feldstärke angeben:
$1\frac{N}{C}=1\frac{Nm}{Cm}=1\frac{V}{m}$
Als Standardeinheit für die elektrische Feldstärke können wir demzufolge $\frac{V}{m}$ (Volt/Meter) benutzen.
Merke
Beziehung zwischen der Spannung $U$ und dem Betrag $E$ der elektrischen Feldstärke im Plattenkondensator
Zwischen der am Plattenkondensator angelegten Spannung $U$ und dem Betrag $E$ des im Innern herrschenden elektrischen Feldes $\vec{E}$ gilt die Relation
$E=\frac{U}{d}$,
wobei $d$ den Abstand der Kondensatorplatten bezeichnet.
Hinweis
Dies kann man nun dazu verwerten, um die $y$-Ablenkung eines geladenen Teilchens innerhalb eines Plattenkondensators mit Hilfe der Spannung $U$ anzugeben (siehe dazu Aufgabe zum Abschnitt Homogenes Feld). Dort hatten wir das Ergebnis
$y_{max}=\frac{e}{2m}E(\frac{L}{v_{z}})^2$,
woraus sich mit Hilfe von $E=\frac{U}{d}$
$y_{max}=\frac{e}{2m}\frac{U}{d}(\frac{L}{v_{z}})^2$
ergibt. Das bedeutet, dass die Ablenkung des Teilchens proportional zur angelegten Spannung ist. Wir werden auf diesen Zusammenhang zurückkommen, wenn wir die Anwendungen elektrischer Felder besprechen.
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