Relativistischer Impuls
Die Formel für den relativistischen Impuls $\vec{p}$ eines Objekts hatten wir im vorigen Abschnitt in der Form
$\vec{p}=m(u)\vec{u}$
notiert. Darin ist $m(u)$ die relativistische Masse und $\vec{u}$ die Geschwindigkeit des Objekts in einem Inertialsystem $S$. Benutzt man explizit die Massenformel, so lässt sich dieser Ausdruck in der Form
$\vec{p}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}\vec{u}$
schreiben.
Die Formel lässt sich vereinfachen, falls der Geschwindigkeitsvektor $\vec{u}$ in Richtung der $x$-Achse zeigt; dann gilt schlicht
$p=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}u$.
In den meisten Fällen werden wir auch diese vereinfachte Formel benutzen.
Wie bereits erwähnt, gilt auch in der Relativitätstheorie der Impulserhaltungssatz.
Merke
Impulserhaltungssatz
Seien $\vec{p}_{a1},\dotsc,\vec{p}_{an}$ die Impulse von $n$ Teilchen vor einem Stoß in einem Inertialsystem $S$. Darüber hinaus seien $\vec{p}_{b1},\dotsc,\vec{p}_{bm}$ die Impulse von $m$ Teilchen nach dem Stoß im gleichen Inertialsystem. Dann ist die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß, sofern man ein abgeschlossenes physikalisches System voraussetzt. In einer Gleichung ausgedrückt bedeutet dies
$\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_{ai}=\sum_{j=1}^{m}\vec{p}_{bj}$.
Aufgrund des Relativitätsprinzips kann man die Situation auch aus einem relativ zu $S$ bewegten Inertialsystem $S^{'}$ beschreiben. Auch in $S^{'}$ gilt
$\sum_{i=1}^{n}\vec{p^{'}}_{ai}=\sum_{j=1}^{m}\vec{p^{'}}_{bj}$,
wobei man natürlich die gestrichenen (transformierten) Impulse einsetzen muss.
Man beachte, dass der Impulserhaltungssatz unabhängig von der Natur des Stoßes ist. Das heißt, dass der Satz sowohl für elastische als auch vollständig unelastische Stöße gilt. Beim unelastischen Stoß ist die Zahl der Teilchen vor und nach dem Stoß verschieden ($m\neq n$).
Wie gesagt können wir von der Formel
$p=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}u$
ausgehen, falls der Geschwindigkeitsvektor mit der $x$-Achse zusammenfällt. Diese Formel gelte in einem Inertialsystem $S$.
Wir betrachten wieder unser bereits bekanntes Inertialsystem $S^{'}$, das sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zu $S$ bewegen möge. Durch das Additionstheorem für Geschwindigkeiten lässt sich der Impuls $p^{'}$ im System $S^{'}$ bestimmen.
Merke
Transformationsverhalten des Impulses
Sei $p$ der (relativistische) Impuls eines Objekts im Inertialsystem $S$; d.h.
$p=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u}{c})^2}}u$,
wobei $m_0$ die Ruhemasse und $u$ die Geschwindigkeit des Objekts im Inertialsystem $S$ bezeichnen.
Dann lässt sich der Impuls $p^{'}$ in einem zu $S$ relativ bewegten Inertialsystem $S^{'}$, das die Geschwindigkeit $v$ hat, berechnen. Es ist
$p^{'}=m(u^{'})u^{'}=\frac{m_0}{\sqrt{1-(\frac{u^{'}}{c})^2}}u^{'}$ mit $u^{'}=\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}$.
Die Formel für $u^{'}$ folgt aus dem bekannten Additionstheorem für Geschwindigkeiten der Relativitätstheorie.
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