Relativistische Geschwindigkeitsaddition
Gehen wir nun im Rahmen der relativistischen Kinematik dazu über, die Geschwindigkeitsaddition zu analysieren. Das klassische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition kann in Anbetracht des Michelson-Experiments nicht richtig sein. Die Lichtgeschwindigkeit stellt eine Grenzgeschwindigkeit in der Natur dar.
Wie zuvor seien $S$ und $S^{'}$ zwei Inertialsysteme, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zueinander bewegen. Stellen wir uns nun die Bewegung eines Objekts mit einer konstanten Geschwindigkeit vor, die von beiden Inertialsystemen beobachtet wird. Wir definieren folgende zwei Größen:
- $u$ sei die Geschwindigkeit des Objekts im System $S$
- $u^{'}$ sei die Geschwindigkeit des Objekts im System $S^{'}$
Es stellt sich die Frage, welcher Zusammenhang zwischen diesen Geschwindigkeiten besteht.
Methode
Herleitung des relativistischen Additionstheorems für Geschwindigkeiten
Wir haben vorausgesetzt, dass sich das Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Daher ist die Weg-Zeit-Funktion eine lineare Funktion und man kann die Geschwindigkeit einfach aus ihrer Steigung bestimmen.
Greifen wir zwei Punkte $(t_{1},x_{1})$ und $(t_{2},x_{2})$ im System $S$ heraus, wobei $t_{2}>t_{1}$ sei. Dann gilt für die Geschwindigkeit $u$ als Steigung der Funktion
$u=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}$.
Im System $S^{'}$ kann ich die entsprechenden Punkte $(t^{'}_1,x^{'}_1)$ und $(t^{'}_2,x^{'}_2)$ durch die besprochene Lorentz-Transformation finden. Zunächst kann man schreiben
$u^{'}=\frac{x^{'}_2-x^{'}_1}{t^{'}_2-t^{'}_1}$.
Setzt man nun die Formeln für eine Lorentz-Transformation ein, so erhält man
$u^{'}=\frac{x^{'}_2-x^{'}_1}{t^{'}_2-t^{'}_1}=\frac{\gamma(x_2-vt_2)-\gamma(x_1-vt_1)}{\gamma(t_2-\frac{v}{c^2}x_2)-\gamma(t_1-\frac{v}{c^2}x_1)}=\frac{x_2-x_1-v(t_2-t_1)}{t_2-t_1-\frac{v}{c^2}(x_2-x_1)}$
und nach Division durch $t_2-t_1$
$\Rightarrow u^{'}=\frac{\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}-v}{1-\frac{v}{c^2}\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}}$.
Unter Berücksichtigung der Formel für $u$ folgt weiter
$u^{'}=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}$.
Somit haben wir eine Transformationsformel für Geschwindigkeiten erhalten, die aus der Lorentz-Transformation folgt.
Merke
Bewegen sich die beiden Inertialsysteme $S$ und $S^{'}$ mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zueinander und ist $u$ die (konstante) Geschwindigkeit eines Objekts im System $S$, so lautet die Geschwindigkeit $u^{'}$ im System $S^{'}$
$u^{'}=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}$.
Will man nun umgekehrt aus der Kenntnis der Geschwindigkeit $u^{'}$ im System $S^{'}$ die Geschwindigkeit $u$ im System $S$ bestimmen, dann kann man die Umkehrformel
$u=\frac{u^{'}+v}{1+\frac{vu}{c^2}}$
benutzen. Wie man sieht, muss man dabei $v$ gegen $-v$ ersetzen.
Auch in diesen Formeln für Geschwindigkeitsaddition spiegel sich das Relativitätsprinzip wider.
Wir überprüfen nun, ob die abgeleiteten Formeln mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen konsistent sind.
Beispiel
Betrachten wir die Lichtgeschwindigkeit im System $S$; d.h. wir setzen
$u=c$.
Wir wollen nun wissen, welche Geschwindigkeit $u^{'}$ das Licht im System $S^{'}$ hat. Nach der Transformationsformel gilt$u^{'}=\frac{c-v}{1-\frac{vc}{c^2}}=\frac{c-v}{1-\frac{v}{c}}=c\frac{1-\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}=c$.
$\Rightarrow u^{'}=c$.
Somit ist die Lichtgeschwindigkeit im System $S^{'}$ die gleiche wie im System $S$.
Damit haben wir gezeigt, dass die relativistische Geschwindigkeitsaddition mit dem fundamentalen Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit konsistent ist.
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