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Relativistische Geschwindigkeitsaddition

Gehen wir nun im Rahmen der relativistischen Kinematik dazu über, die Geschwindigkeitsaddition zu analysieren. Das klassische Gesetz der Geschwindigkeitsaddition kann in Anbetracht des Michelson-Experiments nicht richtig sein. Die Lichtgeschwindigkeit stellt eine Grenzgeschwindigkeit in der Natur dar.

Wie zuvor seien $S$ und $S^{'}$ zwei Inertialsysteme, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zueinander bewegen. Stellen wir uns nun die Bewegung eines Objekts mit einer konstanten Geschwindigkeit vor, die von beiden Inertialsystemen beobachtet wird. Wir definieren folgende zwei Größen:

  • $u$ sei die Geschwindigkeit des Objekts im System $S$
  • $u^{'}$ sei die Geschwindigkeit des Objekts im System $S^{'}$

Es stellt sich die Frage, welcher Zusammenhang zwischen diesen Geschwindigkeiten besteht.

Methode

Herleitung des relativistischen Additionstheorems für Geschwindigkeiten

Wir haben vorausgesetzt, dass sich das Objekt mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegt. Daher ist die Weg-Zeit-Funktion eine lineare Funktion und man kann die Geschwindigkeit einfach aus ihrer Steigung bestimmen.

Greifen wir zwei Punkte $(t_{1},x_{1})$ und $(t_{2},x_{2})$ im System $S$ heraus, wobei $t_{2}>t_{1}$ sei. Dann gilt für die Geschwindigkeit $u$ als Steigung der Funktion

$u=\frac{x_{2}-x_{1}}{t_{2}-t_{1}}$.

Im System $S^{'}$ kann ich die entsprechenden Punkte $(t^{'}_1,x^{'}_1)$ und $(t^{'}_2,x^{'}_2)$ durch die besprochene Lorentz-Transformation finden. Zunächst kann man schreiben

$u^{'}=\frac{x^{'}_2-x^{'}_1}{t^{'}_2-t^{'}_1}$.


Setzt man nun die Formeln für eine Lorentz-Transformation ein, so erhält man

$u^{'}=\frac{x^{'}_2-x^{'}_1}{t^{'}_2-t^{'}_1}=\frac{\gamma(x_2-vt_2)-\gamma(x_1-vt_1)}{\gamma(t_2-\frac{v}{c^2}x_2)-\gamma(t_1-\frac{v}{c^2}x_1)}=\frac{x_2-x_1-v(t_2-t_1)}{t_2-t_1-\frac{v}{c^2}(x_2-x_1)}$

und nach Division durch $t_2-t_1$

$\Rightarrow u^{'}=\frac{\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}-v}{1-\frac{v}{c^2}\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}}$.

Unter Berücksichtigung der Formel für $u$ folgt weiter

$u^{'}=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}$.

Somit haben wir eine Transformationsformel für Geschwindigkeiten erhalten, die aus der Lorentz-Transformation folgt.

Merke

Bewegen sich die beiden Inertialsysteme $S$ und $S^{'}$ mit einer konstanten Geschwindigkeit $v$ relativ zueinander und ist $u$ die (konstante) Geschwindigkeit eines Objekts im System $S$, so lautet die Geschwindigkeit $u^{'}$ im System $S^{'}$

$u^{'}=\frac{u-v}{1-\frac{vu}{c^2}}$.

Will man nun umgekehrt aus der Kenntnis der Geschwindigkeit $u^{'}$ im System $S^{'}$ die Geschwindigkeit $u$ im System $S$ bestimmen, dann kann man die Umkehrformel

$u=\frac{u^{'}+v}{1+\frac{vu}{c^2}}$

benutzen. Wie man sieht, muss man dabei $v$ gegen $-v$ ersetzen.

Auch in diesen Formeln für Geschwindigkeitsaddition spiegel sich das Relativitätsprinzip wider.

Wir überprüfen nun, ob die abgeleiteten Formeln mit der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen konsistent sind.

Beispiel

Betrachten wir die Lichtgeschwindigkeit im System $S$; d.h. wir setzen

$u=c$.

Wir wollen nun wissen, welche Geschwindigkeit $u^{'}$ das Licht im System $S^{'}$ hat. Nach der Transformationsformel gilt

$u^{'}=\frac{c-v}{1-\frac{vc}{c^2}}=\frac{c-v}{1-\frac{v}{c}}=c\frac{1-\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}=c$.

$\Rightarrow u^{'}=c$.

Somit ist die Lichtgeschwindigkeit im System $S^{'}$ die gleiche wie im System $S$.

Damit haben wir gezeigt, dass die relativistische Geschwindigkeitsaddition mit dem fundamentalen Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit konsistent ist.

Multiple-Choice
Im Experiment von Fizeau wird Licht aus einer monochromatischen Lichtquelle durch einen halbdurchlässigen Spiegel in zwei kohärente Strahlen zerlegt. Diese Lichtstrahlen laufen dann durch zwei Rohre der Länge $l$, innerhalb derer sich eine Flüssigkeit vom Brechungsindex $n$ mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt.

Die Strahlen treffen dann auf einen Leuchtschirm, wo sie interferieren.

Welche Lichtgeschwindigkeitswerte $c_1$ und $c_2$ ergeben sich bzgl. der Röhren 1 und 2 im Laborsystem?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist zwar konstant gleich $c$, jedoch nicht in einem Medium vom Brechungsindex $n$. Dies sollte man bei entsprechenden Überlegungen stets berücksichtigen.

Man kann zeigen, dass sich Licht in einem ruhenden Medium mit dem Brechungsindex $n$ mit der Geschwindigkeit $c^{'}=\frac{c}{n}$ ausbreitet.

Vorstellung des Online-Kurses RelativitätstheorieRelativitätstheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Relativitätstheorie

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  • Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Einleitung zu Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
      • Einleitung zu Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
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    • Beschleunigung, Masse, Kraft
  • Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
    • Einleitung zu Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
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