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Folgerungen aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Wir können nun aus dem Michelson-Experiment bzw. dem daraus folgenden Ergebnis der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum in allen Inertialsystemen direkt eine Schlußfolgerung über den Begriff der Zeit in der Relativitätstheorie ziehen.

Wir gehen von einem Weltraumlabor $S^{'}$ aus, das sich gleichförmig geradlinig mit einer Geschwindigkeit $v$ gegenüber der Erde bzw. einem Erdlabor $S$ bewegt. Folgendes einfache Experiment im Weltraumlabor wird durchgeführt: Es wird ein Lichtstrahl (z.B. Laser) vom Laborboden zur Labordecke geschickt und dort mittel eines Spiegels zum Ausgangspunkt reflektiert.

Wir versuchen nun folgende Fragestellung zu beantworten: Wie lange braucht das Licht in den beiden Inertialsystemen $S$ und $S^{'}$, um zum Ausgangspunkt zu gelangen?

Methode

Wir müssen uns die Bewegung des Lichtstrahls in beiden Inertialsystemen vorstellen. Dazu analysieren wir den Vorgang in beiden Inertialsystemen.

$S^{'}$ (Weltraumlabor): Wenn man von der Annahme ausgeht, dass der Abstand zwischen Laborboden und Decke $L$ beträgt, dann beträgt die Laufzeit $t^{'}$ für den Lichtstrahl

$t^{'}=\frac{2L}{c}$.

Die Lichtgeschwindigkeit wird wie üblich mit $c$ bezeichnet. Der Faktor 2 in der obigen Formel entsteht dadurch, dass man Hin-und Rückflug des Lichtstrahls im Weltraumlabor berücksichtigen muss.

image
Bewegung des Lichtstrahls im Weltraumlabor

$S$ (Erdlabor): Während der Zeit für den Vorgang hat sich das Weltraumlabor gegenüber der Erde um eine gewisse Strecke weiterbewegt. Deshalb ergibt sich die in der Zeichnung dargestellte Bewegung des Lichstrahls, die man im Erdlabor registriert. Man hat es mit der Überlagerung von zwei Bewegungen aus der Sicht des Erdlabors zu tun, denn es bewegt sich das Weltraumlabor horizontal mit der Geschwindigkeit $v$ und senkrecht dazu der Lichtstrahl mit der Geschwindigkeit $c$.

image
Bewegung des Lichtstrahls aus der Sicht des Erdlabors

Bezeichnet man mit $t$ die Laufzeit des Lichtstrahls bezüglich des Erdlabors und berücksichtigt die Tatsache, dass auch in diesem Inertialsystem die Lichtgeschwindigkeit $c$ beträgt, so gilt

$t=\frac{2s}{c}$.

Nach dem Satz des Pythagoras gewinnt man noch die Beziehung

$s=\sqrt{L^2+x^2}$,

worin $x$ die vom Weltraumlabor zurückgelegte Strecke in der Zeit $\frac{t}{2}$ ist. Es ist also

$x=v\cdot \frac{t}{2}$.

Diese letzten beiden Formeln setzt man nun in die Gleichung für $t$ ein und erhält

$t=\frac{2}{c}\sqrt{L^2+(\frac{vt}{2})^2}$

$\Rightarrow t^2=(\frac{2L}{c})^2+(\frac{v}{c})^2t^2$

$\Rightarrow (1-(\frac{v}{c})^2)t^2=(\frac{2L}{c})^2$.

Man zieht nun die Quadratwurzel aus der letzten Gleichung, wobei die positive Lösung wegen der zeitlichen Reihenfolge der Ereignisse zu wählen ist:

$\Rightarrow \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}t=\frac{2L}{c}$.

Vergleichen wir nun die Zeiten für den gleichen Vorgang in beiden Inertialsystemen. Da $\frac{2L}{c}=t^{'}$ ist, folgt mittels letzter Gleichung für $S$

$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}t=t^{'}$.

Dies bedeutet doch, dass bei einer von Null verschiedenen Geschwindigkeit $v$ die Dauer des gleichen Vorgangs in beiden Inertialsystemen verschieden lang ist. Insbesondere ist die Zeit $t^{'}$ im Weltraumlabor gegenüber der Zeit $t$ im Erdlabor um den Faktor $\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}$ verkürzt.

Man sollte sich daher folgendes einprägen:

Merke

Relativierung des Zeitbegriffs- Zeitdilatation

Relativistisch betrachtet gibt es keine absolute Zeit wie in der klassischen Physik. Die Zeit für den gleichen Vorgang vergeht im Allgemeinen in unterschiedlichen Inertialsystemen verschieden. Man spricht von Zeitdilatation. Die erhaltene Formel

$\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}t=t^{'}$

ist ein Beispiel für Zeitdilatation.

Diese Zeitdilatation lässt sich mit Hilfe von mitgeführten Uhren tatsächlich experimentell nachweisen. Wegen der notwendigen hohen Präzision der Messungen verwendet man Atomuhren.

Außerdem ergeben sich Anwendungen beim GPS-System, wie folgendes Video zeigt:

Video: Folgerungen aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Vorstellung des Online-Kurses RelativitätstheorieRelativitätstheorie
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Relativitätstheorie

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    • Einleitung zu Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik
    • Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
      • Einleitung zu Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
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  • Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
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