Folgerungen aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Wir müssen uns die Bewegung des Lichtstrahls in beiden Inertialsystemen vorstellen. Dazu analysieren wir den Vorgang in beiden Inertialsystemen.

$S^{'}$ (Weltraumlabor): Wenn man von der Annahme ausgeht, dass der Abstand zwischen Laborboden und Decke $L$ beträgt, dann beträgt die Laufzeit $t^{'}$ für den Lichtstrahl

$t^{'}=\frac{2L}{c}$.

Die Lichtgeschwindigkeit wird wie üblich mit $c$ bezeichnet. Der Faktor 2 in der obigen Formel entsteht dadurch, dass man Hin-und Rückflug des Lichtstrahls im Weltraumlabor berücksichtigen muss.

Bewegung des Lichtstrahls im Weltraumlabor

$S$ (Erdlabor): Während der Zeit für den Vorgang hat sich das Weltraumlabor gegenüber der Erde um eine gewisse Strecke weiterbewegt. Deshalb ergibt sich die in der Zeichnung dargestellte Bewegung des Lichstrahls, die man im Erdlabor registriert. Man hat es mit der Überlagerung von zwei Bewegungen aus der Sicht des Erdlabors zu tun, denn es bewegt sich das Weltraumlabor horizontal mit der Geschwindigkeit $v$ und senkrecht dazu der Lichtstrahl mit der Geschwindigkeit $c$.

Bewegung des Lichtstrahls aus der Sicht des Erdlabors

Bezeichnet man mit $t$ die Laufzeit des Lichtstrahls bezüglich des Erdlabors und berücksichtigt die Tatsache, dass auch in diesem Inertialsystem die Lichtgeschwindigkeit $c$ beträgt, so gilt

$t=\frac{2s}{c}$.

Nach dem Satz des Pythagoras gewinnt man noch die Beziehung

$s=\sqrt{L^2+x^2}$,

worin $x$ die vom Weltraumlabor zurückgelegte Strecke in der Zeit $\frac{t}{2}$ ist. Es ist also

$x=v\cdot \frac{t}{2}$.

Diese letzten beiden Formeln setzt man nun in die Gleichung für $t$ ein und erhält

$t=\frac{2}{c}\sqrt{L^2+(\frac{vt}{2})^2}$

$\Rightarrow t^2=(\frac{2L}{c})^2+(\frac{v}{c})^2t^2$

$\Rightarrow (1-(\frac{v}{c})^2)t^2=(\frac{2L}{c})^2$.

Man zieht nun die Quadratwurzel aus der letzten Gleichung, wobei die positive Lösung wegen der zeitlichen Reihenfolge der Ereignisse zu wählen ist:

$\Rightarrow \sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}t=\frac{2L}{c}$.