Betrag eines Vektors berechnen
Von einer gewissen Wichtigkeit ist der Betrag eines Vektors bzw. die Länge des zugehörigen Pfeiles.
So hat ein Vektor $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ logischerweise den Betrag 1, der Vektor $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ den Betrag 2 usw.
Der Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ allerdings hat nicht die Länge 2+1+2=5 Längeneinheiten (LE). Die Einträge „zeigen“ ja in unterschiedliche Richtungen!
Wie lang ist aber nun der „resultierende Pfeil“?
Die Länge im Zweidimensionalen...
Unternehmen wir einen kurzen Ausflug ins Zweidimensionale und betrachten den Vektor $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. Der Pfeil zeigt also 4 nach rechts und 3 nach oben. Da die Richtungen „nach rechts“ und „nach oben“ orthogonal zueinander sind, gilt für die Länge des Pfeiles nach dem Satz des Pythagoras $l=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ Längeneinheiten (LE).
...und im Dreidimensionalen
Analog gehen wir nun im $\mathbb{R}^3$ vor: Verbildlicht man sich den Vektor $\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ als Zusammensetzung der Vektoren $\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$, gilt für den Betrag des Vektors ebenfalls $\left|\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3$.
Allgemein gilt:
Merke
Der Betrag eines Vektors $\vec{a}$ mit $\vec{a}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$ ist $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.
Weitere Erläuterung
Warum gilt der „Satz des Pythagoras“ auch im Dreidimensionalen?
Um uns das zu erklären, zerlegen wir die obige Aufgabe in zwei Teilschritte:
1) Zuerst berechnen wir den Betrag des Vektors $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$. Da der x3-Eintrag ja Null ist, bewirkt der Vektor lediglich eine Verschiebung in der x1x2-Ebene. Dass hier der Satz des Pythagoras gilt und somit $l^{*}=\sqrt{5}$ ist, sollte klar sein.
2) Im zweiten Schritt schauen wir uns nun die Kombination der Vektoren $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$ an. Diese stehen wiederum senkrecht aufeinander und so können wir auch hier den Satz des Pythagoras anwenden: $l=\sqrt{l^{*2}+2^2} =\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3$.
Wie man den Betrag eines Vektors und warum man ihn genau so berechnet ist Gegenstand des nächsten Videos:
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