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Mathematische Analyse der Gangunterschiede

Fundamente der speziellen Relativitätstheorie
Michelson-Experiment im Detail / Michelson-Interferometer

Wir wollen die Lichtbewegung innerhalb des Interferometers der Vollständigkeit wegen mathematisch analysieren. Der Leser muss sich nicht die Einzelheiten der Rechnungen merken. Entscheidend ist das grundsätzliche Verständnis und die Folgerung aus dem Versuchsergebnis.

Die Annahme soll dabei sein, dass der waagrechte Arm $L_1$ des Interferometers in west-östlicher Orientierung ausgerichtet ist. Dadurch ist es dann geometrisch möglich, dass der waagrechte Lichtstrahl im Interferometer parallel zur Bahngeschwindigkeit $v$ der Erde verläuft.

Betrachten wir also die Situation, in der $v$ parallel zu $L_1$ ist ($v\parallel L_1$).

1. waagrechter Lichtweg:

Hinweg

Nehmen wir an, dass sich die Erde um die Länge $x$ bewegt hat. Logischerweise hat sich dann auch die Apparatur und damit der Spiegel um genau diese Strecke $x$ verschoben. Das Licht, das in gleiche Richtung wie $v$ zeigt, muss also eine Strecke von

$L_1+x$

durchlaufen, um zum Spiegel zu gelangen. Wenn $\Delta t$ die dafür benötigte Zeit darstellt, dann gilt

$L_1+x=c\Delta t$,

weil im System des Äthers die Lichtgeschwindigkeit immer $c$ ist. Für die Strecke $x$ hat man natürlich die Relation

$x=v\Delta t$,

weil sich die Erde innerhalb genau dieser Zeit $\Delta t$ um die Strecke $x$ verschoben hat. Die Zeit hat nach der Äthertheorie eine absolute Bedeutung, wie man es von der klassischen Physik her kennt.

Formt man die Gleichungen um, so erkennt man

$\Delta t=\frac{x}{v} \Rightarrow L_1+x=\frac{cx}{v}$,

was nach $x$ aufgelöst den folgenden Ausdruck ergibt

$x=\frac{L_1v}{c-v}$.

Rückweg

Für den Rückweg zur halbverspiegelten Glasplatte ergibt sich eine etwas andere Situation, da nun der Lichtstrahl in entgegengesetzter Richtung zu $v$ zeigt. Hat sich also die Erde um die Strecke $x^{'}$ weiterbewegt, so muss das Licht lediglich die Strecke

$L_1-x^{'}$

durchlaufen, um zur Glasplatte zurück zu gelangen. Sei nun $\Delta t^{'}$ die Zeit, die das Licht für diese Strecke benötigt. Dann hat man die Beziehung

$L_1-x^{'}=c\Delta t^{'}$

und gleichzeitig

$x^{'}=v\Delta t^{'}$,

denn innerhalb $\Delta t^{'}$ hat sich die Erde genau um $x^{'}$ weiterbewegt. Nach analoger Umformung wie im Fall des Hinweges erhält man

$x^{'}=\frac{L_1v}{c+v}$.

Gesamte Länge

Aus diesen Angaben lässt sich die gesamte Weglänge $s_1$ des Lichtstrahls entlang des waagrechten Interferometerarms bestimmen.

$s_1=L_1+x+L_1-x^{'}=2L_1+\frac{L_1v}{c-v}+\frac{L_1v}{c+v}$

$2L_1+\frac{L_1v}{c-v}+\frac{L_1v}{c+v}=L_1(\frac{2c^2-2v^2}{c^2-v^2}+\frac{v(c+v)-v(c-v)}{c^2-v^2})=2L_1\frac{c^2}{c^2-v^2}$

Gut zu wissen

$\Rightarrow s_1=2L_1\frac{c^2}{c^2-v^2}=2L_1\frac{1}{1-(\frac{v}{c})^2}$

Um einen Wegunterschied oder Gangunterschied zu bestimmen, muss man jetzt den dazu senkrecht verlaufenden Lichtstrahl analysieren.

2. senkrechter Lichtweg:

Hinweg

Aufgrund der Geometrie (siehe Skizze) ergibt sich hier für den Hinweg die Länge

$\Delta s_2=\sqrt{y^2+L_2^2}$,

weil die Erde die Strecke $y$ in waagrechter Richtung zurückgelegt hat.

Sei $t$ die Zeit, welche der Lichtstrahl für den obigen Weg braucht. Dann ergibt sich

$ct=\Delta s_2=\sqrt{y^2+L_2^2}$.

Innerhalb der Zeit $t$ hat sich die Erde um genau die Strecke y bewegt, sodass noch zusätzlich

$vt=y$

gilt. Die Kombination der beiden Gleichungen liefert dann

$\Delta s_2=\sqrt{(vt)^2+L_2^2}=\sqrt{(v\frac{\Delta s_2}{c})^2+L_2^2}$

$\Rightarrow (\Delta s_2)^2=(\Delta s_2)^2(\frac{v}{c})^2+L_2^2$

$\Rightarrow \Delta s_2=\frac{L_2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Rückweg

Aus Symmetriegründen, die auch aus der Zeichnung erkennbar sind, ergibt sich für den Rückweg die gleiche Länge wie für den Hinweg, also

$\Delta s_2$.

Gesamte Länge

Also legt der Lichtstrahl bezüglich des senkrechten Interferometerarms die gesamte Länge

Gut zu wissen

$s_2=2\Delta s_2=\frac{2L_2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

zurück.

Gangunterschied im Fall $v\parallel L_1$

Der Gangunterschied $\Delta s$ zwischen $s_1$ und $s_2$ lautet dann

$\Delta s=s_1-s_2=\frac{2L_1}{1-(\frac{v}{c})^2}-\frac{2L_2}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}$

Gangunterschied im Fall $v\parallel L_2$

Analog lässt sich auch der Gangunterschied $\Delta \tilde{s}$ für den Fall $v\parallel L_2$ bestimmen. Diesen Fall kann man im Experiment dadurch realisieren, dass man die Apparatur um 90° dreht. Dann folgt einfach

$\Delta \tilde{s}=\frac{2L_1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}-\frac{2L_2}{1-(\frac{v}{c})^2}$

Verschiebung des Interferenzmusters

Nach der Äthertheorie sollte sich nun eine Verschiebung des Interferenzstreifens ergeben, die man natürlich als Differenz ausdrücken kann

$\Delta s-\Delta \tilde s=2(L_1+L_2)(\frac{1}{1-(\frac{v}{c})^2}-\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}})$

Es stellt sich nun die Frage, ob eine solche Verschiebung des Interferenzstreifens von Michelson und späteren Experimentalphysikern gefunden wurde.

Vorstellung des Online-Kurses RelativitätstheorieRelativitätstheorie
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Relativitätstheorie

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