Satz von Bayes
Totale Wahrscheinlichkeit
Wenn man den Multiplikationssatz auf eine disjunkte Zerlegung $B_1 \cup B_2 \cup \dots \cup B_n = \Omega$ des Ergebnismenge anwendet kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A=(A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \dots \cup (A \cap B_n) $ über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen.
Merke
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
$\large \bf P(A) = P(B_1) \cdot P_{B_1}(A) + \cdots + P(B_n) \cdot P_{B_n}(A)$
Beispiel
Autofabriken
Ein Autohersteller produziert seine Autos in drei Fabriken. Bei einigen Autos wurden die falschen Sitze eingebaut. Fabrik A (15000 / 5 %), Fabrik B (40000 / 15 %) , Fabrik C (45000 / 10 %). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Auto dieser Produktionsreihe die falschen Sitze hat.
Zur Beantwortung der Frage kann man sich zunächst mal ein Baumdiagramm aufzeichnen.
Anwenden der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt:
$P( \bar{S} ) = P(A) \cdot P_A(\bar{S}) + P(B) \cdot P_B(\bar{S}) + P(C) \cdot P_C(\bar{S})$
$P (\bar{S}) = 15\% \cdot 5\% + 40\% \cdot 15\% + 45\% \cdot 10\% = 11,25\%$
Dreht man die Fragestellung der Beispielaufgabe um, und fragt wie wahrscheinlich ist es, dass ein Auto mit falschen Sitzen aus einer bestimmten Fabrik stammt. Dann sollte man zur Lösung den Satz von Bayes verwenden.
Merke
Satz von Bayes
Bilden $B_1, B_2, \dots , B_n $ eine Zerlegung von $\Omega$ und ist $P(A) > 0$ dann gilt:
$\large \bf P_A(B_i) = \frac{P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)}{\sum_{k=1}^n P(B_k) \cdot P_{B_k}(A)}$
Beispiel
Mit dem Satz von Bayes kann man jetzt z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Auto mit falschen Sitzen aus der Fabrik A stammt berechnen.
$\large P_{\bar{S}}(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(\bar{S})}{P(A) \cdot P_A(\bar{S}) + P(B) \cdot P_B(\bar{S}) + P(C) \cdot P_C(\bar{S})}=\frac{15\% \cdot 5\%}{11,25\%}=6,67\%$
Für die beiden anderen Fabriken ergeben sich die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten.
$\large P_{\bar{S}}(B)=\frac{40\% \cdot 15\%}{11,25\%} = 53,33\%$
$\large P_{\bar{S}}(C)=\frac{45\% \cdot 10\%}{11,25\%} = 40\%$
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