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Totale Wahrscheinlichkeit

Wenn man den Multiplikationssatz auf eine disjunkte Zerlegung $B_1 \cup B_2 \cup \dots  \cup B_n = \Omega$ des Ergebnismenge anwendet kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A=(A \cap B_1) \cup (A \cap B_2) \cup \dots \cup (A \cap B_n) $ über den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen.

Merke

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

$\large \bf P(A) = P(B_1) \cdot P_{B_1}(A) + \cdots + P(B_n) \cdot P_{B_n}(A)$

Beispiel

AutoFabriken

Ein Autohersteller produziert seine Autos in drei Fabriken. Bei einigen Autos wurden die falschen Sitze eingebaut. Fabrik A (15000 / 5 %), Fabrik B (40000 / 15 %) , Fabrik C (45000 / 10 %). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Auto dieser Produktionsreihe die falschen Sitze hat.

 

Zur Beantwortung der Frage kann man sich zunächst mal ein Baumdiagramm aufzeichnen.

Baumdiagramm Fabriken
Baumdiagramm Fabriken

 

Anwenden der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt:

$P( \bar{S} ) = P(A) \cdot P_A(\bar{S}) + P(B) \cdot P_B(\bar{S}) + P(C) \cdot P_C(\bar{S})$

$P (\bar{S}) = 15\% \cdot 5\% + 40\% \cdot 15\% + 45\% \cdot 10\% = 11,25\%$

Dreht man die Fragestellung der Beispielaufgabe um, und fragt wie wahrscheinlich ist es, dass ein Auto mit falschen Sitzen aus einer bestimmten Fabrik stammt. Dann sollte man zur Lösung den Satz von Bayes verwenden.

Merke

Satz von Bayes

Bilden $B_1, B_2, \dots , B_n $ eine Zerlegung von $\Omega$ und ist $P(A) > 0$ dann gilt:

$\large \bf P_A(B_i) = \frac{P(B_i) \cdot P_{B_i}(A)}{\sum_{k=1}^n P(B_k) \cdot P_{B_k}(A)}$

 

Beispiel

Mit dem Satz von Bayes kann man jetzt z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass eine Auto mit falschen Sitzen aus der Fabrik A stammt berechnen.

$\large P_{\bar{S}}(A) = \frac{P(A) \cdot P_A(\bar{S})}{P(A) \cdot P_A(\bar{S}) + P(B) \cdot P_B(\bar{S}) + P(C) \cdot P_C(\bar{S})}=\frac{15\% \cdot 5\%}{11,25\%}=6,67\%$

Für die beiden anderen Fabriken ergeben sich die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten.

$\large P_{\bar{S}}(B)=\frac{40\% \cdot 15\%}{11,25\%} = 53,33\%$

$\large P_{\bar{S}}(C)=\frac{45\% \cdot 10\%}{11,25\%} = 40\%$

Multiple-Choice
Sei $\large P(A) = 0,2$ , $\large P_A(B)=0,4$ und $\large P_{\overline{A}}(B) = 0,8$ .
Berechnen Sie $\large P(B)$
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
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Stochastik

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    • Laplace-Experiment
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  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
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