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Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert

Ist $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p (kurz $X \sim b_{n ; p} $) , dann ist

$ \large \bf EX = \mu = n \cdot p $

der Erwartungswert von $X$

Video: Erwartungswert und Varianz

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung bei einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet.

Varianz und Standardabweichung

Ist $X \sim b_{n ; p} $ dann ist

$ \large \bf Var X = \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) $

die Varianz von $X$ und

$\large \bf \sigma = \sqrt{Var X} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

die Standardabweichung von $X$

Beispiel

Mikrowellen

In einem Betrieb werden Mikrowellen hergestellt, davon weisen ca. 2 % Mängel auf. Wie viele einwandfreie Mikrowellen werden, bei einer Tagesproduktion von 200 Stück, im Durchschnitt täglich produziert ? Wie groß ist die zugehörige Standardabweichung ?

Zur Beantwortung der Frage muss man sich erst mal klar machen, dass eine Binomialverteilung vorliegt. Dann definiert man eine passende Zufallsgröße $X$ .

Hier: $X$ ist die Anzahl der einwandfreien Mikrowellen aus der Tagesproduktion.

Danach bestimmt man die Parameter

$\large n = 200$ und $\large p =0,98$

( Achtung nicht $p = 0,02 $ Warum ?? ). Es wird nach dem Durchschnitt gefragt, was in diesem Zusammenhang dem Erwartungswert EX entspricht.

$\large EX = n p = 200 \cdot 0,98 = 196 $

$\large \sigma^2 = 200 \cdot 0,98 \cdot 0,02 = 3,92$

$ \large \sigma = \sqrt{3,92} \approx 1,98 $

Antwort: Es werden am Tag durchschnittlich 196 einwandfreie Mikrowellen mit einer Standardabweichung von 1,98 Mikrowellen produziert.

Multiple-Choice
$X \sim b_{n;p}$-verteilt. Bestimmen Sie mögliche Erfolgswahrscheinlichkeiten, falls $Var X =24$ und $n = 100$.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Quadratische Gleichung lösen oder probieren.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
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Stochastik

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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