Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert
Ist $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p (kurz $X \sim b_{n ; p} $) , dann ist
$ \large \bf EX = \mu = n \cdot p $
der Erwartungswert von $X$
Video: Erwartungswert und Varianz
Varianz und Standardabweichung
Ist $X \sim b_{n ; p} $ dann ist
$ \large \bf Var X = \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) $
die Varianz von $X$ und
$\large \bf \sigma = \sqrt{Var X} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
die Standardabweichung von $X$
Beispiel
Mikrowellen
In einem Betrieb werden Mikrowellen hergestellt, davon weisen ca. 2 % Mängel auf. Wie viele einwandfreie Mikrowellen werden, bei einer Tagesproduktion von 200 Stück, im Durchschnitt täglich produziert ? Wie groß ist die zugehörige Standardabweichung ?
Zur Beantwortung der Frage muss man sich erst mal klar machen, dass eine Binomialverteilung vorliegt. Dann definiert man eine passende Zufallsgröße $X$ .
Hier: $X$ ist die Anzahl der einwandfreien Mikrowellen aus der Tagesproduktion.
Danach bestimmt man die Parameter
$\large n = 200$ und $\large p =0,98$
( Achtung nicht $p = 0,02 $ Warum ?? ). Es wird nach dem Durchschnitt gefragt, was in diesem Zusammenhang dem Erwartungswert EX entspricht.
$\large EX = n p = 200 \cdot 0,98 = 196 $
$\large \sigma^2 = 200 \cdot 0,98 \cdot 0,02 = 3,92$
$ \large \sigma = \sqrt{3,92} \approx 1,98 $
Antwort: Es werden am Tag durchschnittlich 196 einwandfreie Mikrowellen mit einer Standardabweichung von 1,98 Mikrowellen produziert.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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