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Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert

Ist $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p (kurz $X \sim b_{n ; p} $) , dann ist

$ \large \bf EX = \mu = n \cdot p $

der Erwartungswert von $X$

Video: Erwartungswert und Varianz

Varianz und Standardabweichung

Ist $X \sim b_{n ; p} $ dann ist

$ \large \bf Var X = \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) $

die Varianz von $X$ und

$\large \bf \sigma = \sqrt{Var X} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$

die Standardabweichung von $X$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Mikrowellen

In einem Betrieb werden Mikrowellen hergestellt, davon weisen ca. 2 % Mängel auf. Wie viele einwandfreie Mikrowellen werden, bei einer Tagesproduktion von 200 Stück, im Durchschnitt täglich produziert ? Wie groß ist die zugehörige Standardabweichung ?

Zur Beantwortung der Frage muss man sich erst mal klar machen, dass eine Binomialverteilung vorliegt. Dann definiert man eine passende Zufallsgröße $X$ .

Hier: $X$ ist die Anzahl der einwandfreien Mikrowellen aus der Tagesproduktion.

Danach bestimmt man die Parameter

$\large n = 200$ und $\large p =0,98$

( Achtung nicht $p = 0,02 $ Warum ?? ). Es wird nach dem Durchschnitt gefragt, was in diesem Zusammenhang dem Erwartungswert EX entspricht.

$\large EX = n p = 200 \cdot 0,98 = 196 $

$\large \sigma^2 = 200 \cdot 0,98 \cdot 0,02 = 3,92$

$ \large \sigma = \sqrt{3,92} \approx 1,98 $

Antwort: Es werden am Tag durchschnittlich 196 einwandfreie Mikrowellen mit einer Standardabweichung von 1,98 Mikrowellen produziert.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 35