Erwartungswert und Varianz
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Erwartungswert
Ist $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p (kurz $X \sim b_{n ; p} $) , dann ist
$ \large \bf EX = \mu = n \cdot p $
der Erwartungswert von $X$
Varianz und Standardabweichung
Ist $X \sim b_{n ; p} $ dann ist
$ \large \bf Var X = \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) $
die Varianz von $X$ und
$\large \bf \sigma = \sqrt{Var X} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
die Standardabweichung von $X$
Beispiel
Mikrowellen
In einem Betrieb werden Mikrowellen hergestellt, davon weisen ca. 2 % Mängel auf. Wie viele einwandfreie Mikrowellen werden, bei einer Tagesproduktion von 200 Stück, im Durchschnitt täglich produziert ? Wie groß ist die zugehörige Standardabweichung ?
Zur Beantwortung der Frage muss man sich erst mal klar machen, dass eine Binomialverteilung vorliegt. Dann definiert man eine passende Zufallsgröße $X$ .
Hier: $X$ ist die Anzahl der einwandfreien Mikrowellen aus der Tagesproduktion.
Danach bestimmt man die Parameter
$\large n = 200$ und $\large p =0,98$
( Achtung nicht $p = 0,02 $ Warum ?? ). Es wird nach dem Durchschnitt gefragt, was in diesem Zusammenhang dem Erwartungswert EX entspricht.
$\large EX = n p = 200 \cdot 0,98 = 196 $
$\large \sigma^2 = 200 \cdot 0,98 \cdot 0,02 = 3,92$
$ \large \sigma = \sqrt{3,92} \approx 1,98 $
Antwort: Es werden am Tag durchschnittlich 196 einwandfreie Mikrowellen mit einer Standardabweichung von 1,98 Mikrowellen produziert.
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