Erwartungswert einer Zufallsgröße
Der Erwartungswert $EX$ (oder $E(X)$ oder $\large \mu $) ist ein Mittelwert, bei dem die einzelnen Werte $x_i$ von $X$ mit ihren Wahrscheinlichkeiten $P( X = x_i )$ gewichtet werden.
Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Wert man im Durchschnitt rechnen kann, wenn man die Zufallsgröße $X$ sehr oft auswertet (d.h. das zugrundeliegende Zufallsexperiment oft wiederholt).
Merke
Erwartungswert
$\large \bf EX = \mu = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i)$ (für endliche Zufallsgrößen)
$\large \bf EX = \mu = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f(x) dx $ (für stetige Zufallsgrößen)
Hilfreich, insbesondere für Verknüpfungen von Zufallsvariablen, sind die folgenden Rechenregeln für den Erwartungswert.
Methode
$\large E( aX + b ) = a \cdot EX + b \;\;$ mit $a, b \in \mathbb{R}$
$ \large E( X + Y ) = E(X) + E(Y)$
d.h. der Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen ist gleich der Summe ihrer Erwartungswerte.
Beispiel
$X$ ist die Augenzahl beim Werfen eines Würfels. Da alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich sind, ergibt sich der folgende Erwartungwert.
$\large EX = \sum_{k=1}^6 k \cdot \frac{1}{6} = 3,5$
(Wie man sieht muss der Erwartungswert nicht unbedingt einer der Werte von $X$ sein)
$Y$ ist Summe der Augenzahlen beim 8-maligen Werfen eines Würfels. Dann gilt mit $X_i$ Augenzahl im i-ten Wurf
$Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_8$.
Den Erwartungswert von $Y$ kann man dann, wie folgt berechnen:
$EY = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_8) = \sum_{k=1}^8 E(X_k) = \sum_{k=1}^8 3,5 = 8 \cdot 3,5 = 28 $
Faire Spiele
In den Anfängen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigte man sich viel mit Glücksspielen. Dabei ging es darum die Gewinnchance bei einem Spiel abzuschätzen. Ein Spiel ist fair, wenn die Chance zu gewinnen und die Chance zu verlieren gleich groß sind. Das klassische Beispiel ist der Münzwurf. Diese Forderung übersetzt sich in die folgenden Bedingungen für den Erwartungswert $EX$, wenn die Zufallsgröße $X$ der Gewinn bei dem Spiel ist.
Merke
Ein Spiel mit dem Gewinn $X$ ist fair wenn gilt:
$\large \bf EX = 0 $
Es ist günstig wenn gilt:
$\large \bf EX > 0 $
Es ist ungünstig wenn gilt:
$\large \bf EX < 0 $
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