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Erwartungswert einer Zufallsgröße

Der Erwartungswert $EX$ (oder $E(X)$ oder $\large \mu $) ist ein Mittelwert, bei dem die einzelnen Werte $x_i$ von $X$ mit ihren Wahrscheinlichkeiten $P( X = x_i )$ gewichtet werden.

Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Wert man im Durchschnitt rechnen kann, wenn man die Zufallsgröße $X$ sehr oft auswertet (d.h. das zugrundeliegende Zufallsexperiment oft wiederholt).

Merke

Erwartungswert

$\large \bf EX = \mu = \sum_{i=1}^n x_i \cdot P(X = x_i)$   (für endliche Zufallsgrößen)

$\large \bf EX = \mu = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot f(x) dx $  (für stetige Zufallsgrößen)

Hilfreich, insbesondere für Verknüpfungen von Zufallsvariablen, sind die folgenden Rechenregeln für den Erwartungswert.

Methode

$\large E( aX + b ) = a \cdot EX + b \;\;$  mit $a, b \in \mathbb{R}$

$ \large E( X + Y ) = E(X) + E(Y)$

d.h. der Erwartungswert einer Summe von Zufallsgrößen ist gleich der Summe ihrer Erwartungswerte.

Beispiel

$X$ ist die Augenzahl beim Werfen eines Würfels. Da alle Augenzahlen gleichwahrscheinlich sind, ergibt sich der folgende Erwartungwert.

$\large EX = \sum_{k=1}^6 k \cdot \frac{1}{6} = 3,5$

(Wie man sieht muss der Erwartungswert nicht unbedingt einer der Werte von $X$ sein)

$Y$ ist Summe der Augenzahlen beim 8-maligen Werfen eines Würfels. Dann gilt mit $X_i$ Augenzahl im i-ten Wurf 

$Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_8$.

Den Erwartungswert von $Y$ kann man dann, wie folgt berechnen:

$EY = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_8) = \sum_{k=1}^8 E(X_k) = \sum_{k=1}^8 3,5 = 8 \cdot 3,5 = 28 $

Video: Erwartungswert einer Zufallsgröße

In diesem Abschnitt geht es um dem Erwartungswert einer Zufallsgröße und um faire Spiele diese werden in verschiedenen Beispielen und Videos untersucht.

Faire Spiele

In den Anfängen der Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigte man sich viel mit Glücksspielen. Dabei ging es darum die Gewinnchance bei einem Spiel abzuschätzen. Ein Spiel ist fair, wenn die Chance zu gewinnen und die Chance zu verlieren gleich groß sind. Das klassische Beispiel ist der Münzwurf. Diese Forderung übersetzt sich in die folgenden Bedingungen für den Erwartungswert $EX$, wenn die Zufallsgröße $X$ der Gewinn bei dem Spiel ist.

Video: Erwartungswert einer Zufallsgröße

In diesem Abschnitt geht es um dem Erwartungswert einer Zufallsgröße und um faire Spiele diese werden in verschiedenen Beispielen und Videos untersucht.

Merke

Ein Spiel mit dem Gewinn $X$ ist fair wenn gilt:

$\large \bf EX = 0 $

Es ist günstig wenn gilt:

$\large \bf EX > 0 $

Es ist ungünstig wenn gilt:

$\large \bf EX < 0 $

Multiple-Choice
Die Zufallsgrößen $X$ und $Y$ haben die Erwartungswerte $EX = 3$ und $EY = 17$. Bestimmen Sie für die Zufallsvariablen $Z_1 = 2 \cdot X + 4$  und $Z_2 = \large \frac{X+Y}{5}$ den Erwartunsgwert
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
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Stochastik

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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