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Bernoulli-Experiment

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen heißt Bernoulli-Experiment. Dabei wird das eine Ergebnis als Erfolg (Treffer) und das andere Ergebnis als Misserfolg (Niete) gewertet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg wird Erfolgswahrscheinlichkeit genannt und mit einem kleinen $\bf p$ bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg ist $\bf 1-p $ und wird oft mit $\bf q$ bezeichnet.

Video: Bernoulli-Kette

In diesem Abschnitt geht es um Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten diese werden hier im Text mit Beispielen und in einem Video erklärt.

Bernoulli-Kette

Führt man ein Bernoulli-Experiment n-mal, mit gleichbleibender Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$, durch entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge $\bf n$. Ein einfaches Beispiel ist das wiederholte Werfen einer Münze. Die dabei erzielten Ergebnisse werden häufig als n-Tupel der Form (0,1,1,1,0,1,0, ...) oder  0111010...  angegeben, wobei die 1 für einen Erfolg steht. Da es von diesen n-Tupeln genau $2^n$ gibt, sind bei einer Bernoulli-Kette der Länge $\bf n$ genau $\bf 2^n$ verschiedene Ergebnisse möglich.

Beispiel

Wiederholtes Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit 8 schwarzen und 17 roten Kugeln. Die Länge n dieser Bernoulli-Kette wird durch die Anzahl der Wiederholungen bestimmt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit $\bf p$ ist $\frac{8}{25}=32 \%$ oder $\frac{17}{25}= 68\%$ je nachdem was man als Erfolg oder Misserfolg ansieht.

 

Dagegen ist das Experiment von eben, wenn man die Kugeln nicht zurücklegt, keine Bernoulli-Kette. Die Entnahme von Kugeln ändert nämlich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Ziehung zu Ziehung.

Man kann auch aus Zufallsexperiment, mit mehr als 2 möglichen Ergebnissen, ein Bernoulli-Experiment machen. Die Ergebnismenge $\Omega$ wird dazu in ein Ereignis $A$ und sein Gegenereignis $\overline{A}$ aufgeteilt. Ein Erfolg (Treffer) wird dann erzielt, wenn ein Ergebnis $\omega \in A$ eintritt.

Merke

$\Large p = Erfolgswahrscheinlichkeit$

 

$\Large n = Länge \; der \; Bernoulli-Kette$ 

 

Durch diese beiden Zahlen ist eine Bernoulli-Kette eindeutig bestimmt. 

Multiple-Choice
Entscheiden Sie, bei welchen der folgenden mehrstufigen Zufallsexperimente, es sich um eine Bernoulli-Kette handelt.
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