Dichtefunktion der Normalverteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ heißt normalverteilt mit den den Parametern $\mu$ und $ \sigma$ (kurz $N (\mu ; \sigma)$-verteilt),

wenn sie die folgende Dichtefunktion besitzt:

$\Large \bf f_N(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ -\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}$

2 Graphen von Dichten von Normalverteilungen

Die Dichten von Normalverteilungen haben ein Maximum an der Stelle $\mu$, die Graphen sind symmetrisch zur Geraden $x=\mu$ und haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen.

Standard-Normalverteilung

Ist $X \sim N (0 ; 1 )$-verteilt, so nennt man $X$ standardnormalverteilt die Dichte der Standard-Normalverteilung wird mit einem $ \large \bf \varphi $ bezeichnet und sieht so aus:

$\Large \bf \varphi (t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{ -\frac{t^2}{2}} $

Dichte der Standard-Normalverteilung

Gaußsche Glockenkurve

Die Form des Graphen von $\varphi (t) $ hat ihr den Namen Gaußsche Glockenkurve eingebracht.