Zentraler Grenzwertsatz
Nicht nur die Binomialverteilung lässt sich durch die Normalverteilung annähren, sondern auch Summen von unabhängigen Zufallsgrößen mit endlichen Erwartungswerten und Varianzen
Merke
Zentraler Grenzwertsatz
$X_k$ seien beliebig verteilte, unabhängige Zufallsgrößen mit Erwartungswerten $\mu_k$ und Varianzen $\sigma_k^2$. Dann gilt für die Zufallsgröße $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ mit dem Erwartungswert $\mu = \mu_1 + \mu_2 + \cdots + \mu_n$ und der Varianz $\sigma^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \cdots + \sigma_n^2 $
(unter sehr schwachen, in Praxis meist erfüllten Bedingungen für die ansonsten beliebig verteilten $X_k$) die Nährungsformel :
$\large P(X \leq x) \approx \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma})$
die für große n brauchbare Werte liefert.
In der Natur werden viele (Zufalls-)Größen, z.B. das Gewicht von Früchten, von einer Reihe von zufälligen Faktoren beeinflusst, die in ihrer Summe dann für ein zufälliges Gewicht sorgen. Der Zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum solche Größen häufig glockenförmige Verteilungen aufweisen. Andere Beispiele sind Füllmengen, Gewichte oder Längen von Produkten in der Massenproduktion.
Beispiel
Eine Maschine verpackt Schrauben. In einer Packung sind 80 Schrauben. Das Gewicht der Schrauben ist annährend normalverteilt mit dem Mittelwert $\mu = 4g$ und der Standardabweichung $\sigma = 0,1g$. Bestimmen Sie für das Nettogewicht $X$ der Packung die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq 310g)$.
$EX = 80 \cdot 4g = 320g$ und $\sigma = \sqrt{80 \cdot (0,1g)^2} = \sqrt{80} \cdot 0,1g$
$P(X \leq 310g) \approx \Phi\left(\frac{310-320}{\sqrt{80} \cdot 0,1}\right) = \Phi(- \, 0,89) = 18,67 \%$
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