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Ein ZufallsExperiment bei dem alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben heißt gleichverteilt oder Laplace-Experiment. Für solche Experimente kann man die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen durch Abzählen der Elementarereignisse, die zu einem Ereignis gehören berechnen.

Video: Laplace-Experiment

In diesem Abschnitt werden Laplace-Experimente behandelt und wie man durch Abzählen von Mengen und mit Baumdiagrammen und den Pfadregeln in diesem Fall Wahrscheinlichkeiten berechnet.

Merke

$\large P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{ Anzahl\, der\, günstigen\, Ergebnisse }{Anzahl\, der\, möglichen\, Ergebnisse}$   (Laplace-Wahrscheinlichkeit)

In manchen Fälle kann man $\Omega$ und das betrachtete Ereignis A angeben und die Mengen einfach abzählen.

Beispiel

Experiment: Einmaliges Werfen eines Würfels.

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \Rightarrow |\Omega | = 6$

$A = \{ Augenzahl < 3 \}= \{ 1,2 \} \Rightarrow |A| = 2$

$\Rightarrow \large P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Mehrstufige Laplace-Experimente

Bei mehrstufigen Laplace-Experimenten kann man mit Baumdiagrammen arbeiten und die Pfade auszählen. Dabei stößt man aber schnell an Grenzen, weil die Baumdiagramme sehr groß werden können.

Beispiel

Experiment: Dreimaliges Werfen einer Münze. A = { Es erscheint genau 2 x Kopf }

Baumdiagramm eines dreifachen Münzwurfs

Im Baumdiagramm erkennt man, dass $\Omega$ 8 Elemente hat, weil es 8 verschiedene Pfade gibt. Die Pfade sind gleichwahrscheinlich, weil man an jeder Verzweigung mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 nach K oder Z geht. Zu A gehören die 3 Pfade die 2 x K und 1 x Z enthalten. Also ist $\large P(A) = \frac{3}{8}$

Das folgende Video erklärt, wie man Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagrammen und den Pfadregeln berechnen kann.

Video: Laplace-Experiment

In diesem Abschnitt werden Laplace-Experimente behandelt und wie man durch Abzählen von Mengen und mit Baumdiagrammen und den Pfadregeln in diesem Fall Wahrscheinlichkeiten berechnet.

Kombinatorik

Kommt man mit den oben beschriebenen Verfahren nicht mehr weiter, muss man auf die Zählprinzipien der Kombinatorik zurückgreifen, mit denen man auch große Mengen systematisch abzählen kann.

Multiple-Choice

In einer Urne befinden sich 100 nummerierte Lose (1 - 100 ). Es wird ein Los zufällig gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
A = { Die Nummer ist durch 4 teilbar }
B = {Die Nummer ist durch 7 teilbar }
C = $A \cup B$   

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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Stochastik

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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