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Varianz einer Zufallsgröße

Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$)  die wie folgt definiert ist.

Merke

Varianz und Standardabweichung

$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n  (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$

(für endliche Zufallsgrößen)

$  \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu )^2 \cdot f(x) dx $

(für stetige Zufallsgrößen)

Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung

$ \large \bf \sigma = \sqrt{Var X} $

Zur konkreten Berechnung der Varianz können die folgenden Rechenregeln nützlich sein.

Methode

$ \large Var X = EX^2 - (EX)^2 $

$ \large Var (aX + b ) = a^2 \cdot Var X \;\;$ mit $\; a,b \in \mathbb{R}$

Für unabhängige Zufallsgrößen $X, Y$ gilt:

$ \large Var (X + Y) = Var X + Var Y $

Beispiel

  Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

$\large k$ $\large -\; 2$ $\large 3$ $\large 8$
$\large P(X=k)$ $\large  0,6$ $\large 0,3$ $\large 0,1$

Zunächst bestimmt man den Erwartungswert

$\large \mu = -2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1 = 0,5$

anschließend kann man die Varianz berechnen

$ \large Var X = ( -2 - 0,5 )^2 \cdot 0,6 + (3 - 0,5)^2 \cdot 0,3 + (8 - 0,5 )^2 \cdot 0,1$

$\large =11,25$

woraus sich schliesslich die Standardabweichung

$\large \sigma = \sqrt{Var \, X} = \sqrt{11,25} \approx 3,35$

ergibt. Statt die Werte umständlich in die Formeln einzusetzen, kann man die Verteilung in Form von Listen oder Tabellen in den Rechner eingeben und diese Arbeit den Rechner erledigen lassen.

Video: Varianz einer Zufallsgröße

In diesem Abschnitt geht es um die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsgröße, sie werden hier definert und in einem Beispiel berechnet.
Multiple-Choice
Bestimmen Sie Varianz und Standabweichung der Augenzahl beim einmaligen Würfeln mit einem regulären Würfel.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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