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Varianz einer Zufallsgröße

Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$)  die wie folgt definiert ist.

Merke

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Varianz und Standardabweichung

$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n  (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$

(für endliche Zufallsgrößen)

$  \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu )^2 \cdot f(x) dx $

(für stetige Zufallsgrößen)

Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung

$ \large \bf \sigma = \sqrt{Var X} $

Zur konkreten Berechnung der Varianz können die folgenden Rechenregeln nützlich sein.

Methode

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$ \large Var X = EX^2 - (EX)^2 $

$ \large Var (aX + b ) = a^2 \cdot Var X \;\;$ mit $\; a,b \in \mathbb{R}$

Für unabhängige Zufallsgrößen $X, Y$ gilt:

$ \large Var (X + Y) = Var X + Var Y $

Beispiel

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  Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

$\large k$$\large -\; 2$$\large 3$$\large 8$
$\large P(X=k)$$\large  0,6$$\large 0,3$$\large 0,1$

Zunächst bestimmt man den Erwartungswert

$\large \mu = -2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1 = 0,5$

anschließend kann man die Varianz berechnen

$ \large Var X = ( -2 - 0,5 )^2 \cdot 0,6 + (3 - 0,5)^2 \cdot 0,3 + (8 - 0,5 )^2 \cdot 0,1$

$\large =11,25$

woraus sich schliesslich die Standardabweichung

$\large \sigma = \sqrt{Var \, X} = \sqrt{11,25} \approx 3,35$

ergibt. Statt die Werte umständlich in die Formeln einzusetzen, kann man die Verteilung in Form von Listen oder Tabellen in den Rechner eingeben und diese Arbeit den Rechner erledigen lassen.

Video: Varianz einer Zufallsgröße

Multiple-Choice
Die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$ ist 16. Welche der folgenden Aussagen sind richtig ?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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  • Gute Bewertung für Stochastik

    Ein Kursnutzer am 19.01.2017:
    "Gut erklärt "