Varianz einer Zufallsgröße
Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$) die wie folgt definiert ist.
Merke
Varianz und Standardabweichung
$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$
(für endliche Zufallsgrößen)
$ \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu )^2 \cdot f(x) dx $
(für stetige Zufallsgrößen)
Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung
$ \large \bf \sigma = \sqrt{Var X} $
Zur konkreten Berechnung der Varianz können die folgenden Rechenregeln nützlich sein.
Methode
$ \large Var X = EX^2 - (EX)^2 $
$ \large Var (aX + b ) = a^2 \cdot Var X \;\;$ mit $\; a,b \in \mathbb{R}$
Für unabhängige Zufallsgrößen $X, Y$ gilt:
$ \large Var (X + Y) = Var X + Var Y $
Beispiel
Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.
| $\large k$ | $\large -\; 2$ | $\large 3$ | $\large 8$ |
| $\large P(X=k)$ | $\large 0,6$ | $\large 0,3$ | $\large 0,1$ |
Zunächst bestimmt man den Erwartungswert
$\large \mu = -2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1 = 0,5$
anschließend kann man die Varianz berechnen
$ \large Var X = ( -2 - 0,5 )^2 \cdot 0,6 + (3 - 0,5)^2 \cdot 0,3 + (8 - 0,5 )^2 \cdot 0,1$
$\large =11,25$
woraus sich schliesslich die Standardabweichung
$\large \sigma = \sqrt{Var \, X} = \sqrt{11,25} \approx 3,35$
ergibt. Statt die Werte umständlich in die Formeln einzusetzen, kann man die Verteilung in Form von Listen oder Tabellen in den Rechner eingeben und diese Arbeit den Rechner erledigen lassen.
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Verteilungsfunktion
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Verteilungsfunktion (Zufallsgrößen) aus unserem Online-Kurs Stochastik interessant.
-
![Dichte der Gleichverteilung über dem Intervall [1,4]](/assets/courses/media/dichte-gleichverteilung3-ca.png "Dichte der Gleichverteilung über [1,4]")
Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion (Zufallsgrößen) aus unserem Online-Kurs Stochastik interessant.
zum Kurs 
