Varianz einer Zufallsgröße
Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$) die wie folgt definiert ist.
Merke
Varianz und Standardabweichung
$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$
(für endliche Zufallsgrößen)
$ \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu )^2 \cdot f(x) dx $
(für stetige Zufallsgrößen)
Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung
$ \large \bf \sigma = \sqrt{Var X} $
Zur konkreten Berechnung der Varianz können die folgenden Rechenregeln nützlich sein.
Methode
$ \large Var X = EX^2 - (EX)^2 $
$ \large Var (aX + b ) = a^2 \cdot Var X \;\;$ mit $\; a,b \in \mathbb{R}$
Für unabhängige Zufallsgrößen $X, Y$ gilt:
$ \large Var (X + Y) = Var X + Var Y $
Beispiel
Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.
| $\large k$ | $\large -\; 2$ | $\large 3$ | $\large 8$ |
| $\large P(X=k)$ | $\large 0,6$ | $\large 0,3$ | $\large 0,1$ |
Zunächst bestimmt man den Erwartungswert
$\large \mu = -2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1 = 0,5$
anschließend kann man die Varianz berechnen
$ \large Var X = ( -2 - 0,5 )^2 \cdot 0,6 + (3 - 0,5)^2 \cdot 0,3 + (8 - 0,5 )^2 \cdot 0,1$
$\large =11,25$
woraus sich schliesslich die Standardabweichung
$\large \sigma = \sqrt{Var \, X} = \sqrt{11,25} \approx 3,35$
ergibt. Statt die Werte umständlich in die Formeln einzusetzen, kann man die Verteilung in Form von Listen oder Tabellen in den Rechner eingeben und diese Arbeit den Rechner erledigen lassen.
Video: Varianz einer Zufallsgröße
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