Jetzt neu: Steuerrecht online lernen auf steuerkurse.de!
abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 200 Lernvideos
  • 415 Lerntexte
  • 592 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben

Varianz einer Zufallsgröße

Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$)  die wie folgt definiert ist.

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Varianz und Standardabweichung

$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n  (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$

(für endliche Zufallsgrößen)

$  \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu )^2 \cdot f(x) dx $

(für stetige Zufallsgrößen)

Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung

$ \large \bf \sigma = \sqrt{Var X} $

Zur konkreten Berechnung der Varianz können die folgenden Rechenregeln nützlich sein.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

$ \large Var X = EX^2 - (EX)^2 $

$ \large Var (aX + b ) = a^2 \cdot Var X \;\;$ mit $\; a,b \in \mathbb{R}$

Für unabhängige Zufallsgrößen $X, Y$ gilt:

$ \large Var (X + Y) = Var X + Var Y $

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

  Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.

$\large k$$\large -\; 2$$\large 3$$\large 8$
$\large P(X=k)$$\large  0,6$$\large 0,3$$\large 0,1$

Zunächst bestimmt man den Erwartungswert

$\large \mu = -2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1 = 0,5$

anschließend kann man die Varianz berechnen

$ \large Var X = ( -2 - 0,5 )^2 \cdot 0,6 + (3 - 0,5)^2 \cdot 0,3 + (8 - 0,5 )^2 \cdot 0,1$

$\large =11,25$

woraus sich schliesslich die Standardabweichung

$\large \sigma = \sqrt{Var \, X} = \sqrt{11,25} \approx 3,35$

ergibt. Statt die Werte umständlich in die Formeln einzusetzen, kann man die Verteilung in Form von Listen oder Tabellen in den Rechner eingeben und diese Arbeit den Rechner erledigen lassen.

Video: Varianz einer Zufallsgröße

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
    • Unabhängigkeit
  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
  • 29
  • 13
  • 106
  • 35