Varianz einer Zufallsgröße
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Bei Zufallsvariablen interessiert man sich neben dem Erwartungswert $EX$ auch dafür, wie weit die Werte von $X$ vom Erwartungswert abweichen (streuen). Dazu verwendet man die Varianz $Var X$ (oder $\large \sigma ^2$) die wie folgt definiert ist.
Merke
Varianz und Standardabweichung
$ \large \bf Var X = \sigma ^2 = E (X - EX)^2 = \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \cdot P(X = x_i)$
(für endliche Zufallsgrößen)
$ \large \bf Var X = \sigma ^2= \int_{- \infty}^{+ \infty} (x - \mu )^2 \cdot f(x) dx $
(für stetige Zufallsgrößen)
Die Quadratwurzel aus der Varianz ist die Standardabweichung
$ \large \bf \sigma = \sqrt{Var X} $
Zur konkreten Berechnung der Varianz können die folgenden Rechenregeln nützlich sein.
Methode
$ \large Var X = EX^2 - (EX)^2 $
$ \large Var (aX + b ) = a^2 \cdot Var X \;\;$ mit $\; a,b \in \mathbb{R}$
Für unabhängige Zufallsgrößen $X, Y$ gilt:
$ \large Var (X + Y) = Var X + Var Y $
Beispiel
Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der Zufallsgröße $X$.
| $\large k$ | $\large -\; 2$ | $\large 3$ | $\large 8$ |
| $\large P(X=k)$ | $\large 0,6$ | $\large 0,3$ | $\large 0,1$ |
Zunächst bestimmt man den Erwartungswert
$\large \mu = -2 \cdot 0,6 + 3 \cdot 0,3 + 8 \cdot 0,1 = 0,5$
anschließend kann man die Varianz berechnen
$ \large Var X = ( -2 - 0,5 )^2 \cdot 0,6 + (3 - 0,5)^2 \cdot 0,3 + (8 - 0,5 )^2 \cdot 0,1$
$\large =11,25$
woraus sich schliesslich die Standardabweichung
$\large \sigma = \sqrt{Var \, X} = \sqrt{11,25} \approx 3,35$
ergibt. Statt die Werte umständlich in die Formeln einzusetzen, kann man die Verteilung in Form von Listen oder Tabellen in den Rechner eingeben und diese Arbeit den Rechner erledigen lassen.
Video: Varianz einer Zufallsgröße
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
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