Verteilungsfunktion der Normalverteilung
Ist $ \bf X \sim N(\mu ; \sigma) $ dann hat sie die Verteilungsfunktion
$\large \bf F_N(x) = P( X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_N(t) dt$
Die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsgröße $X$ lautet
$\large \bf \Phi(x) = P( X \leq x) = \int_{-\infty}^x \varphi (t) dt$
Sie wird häufig auch Gaußsche Summenfunktion genannt und mit $\Phi$ bezeichnet.
Merke
$\Large \Phi (-x ) = 1 - \Phi (x)$
Ist $X \sim N(\mu ; \sigma)$-verteilt so gilt:
$\Large P ( a \leq X \leq b ) = \Phi (\frac{b-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) $
Beispiel
In einer Fabrik werden Golfbälle produziert ihr Gewicht ist normalverteilt mit $\mu= 50g$ und $\sigma = 2g$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A={Der Ball wiegt höchstens 45g}, B ={ Der Ball wiegt zwischen 48g und 50g }, C = {Der Ball wiegt mehr als 54g}.
Lösung: $X$ = Gewicht des Golfballs (Zufallsgröße definieren)
$P(A) = P( X \leq 45 ) = F_{N(50;2)}(45) = \Phi (\frac{45-50}{2}) = \Phi ( - \, 2,5) =\bf 0,0062$
$P(B) = P( 48 \leq X \leq 50 ) = F_{N(50;2)}(50)-F_{N(50;2)}(48)$
$= \Phi (\frac{50-50}{2})-\Phi (\frac{48-50}{2}) = \Phi ( 0) - \Phi(- \, 1) =\bf 0,3413$
$P(C) = P( X > 54 ) = 1- P( X \leq 54 ) = 1- F_{N(50;2)}(54)$
$= 1- \Phi (\frac{54-50}{2}) = 1 - \Phi ( 2 ) =\bf 0,0228$
Man kann die Wahrscheinlichkeiten entweder mit der Verteilungsfunktion zu $N(\mu \, ; \, \sigma)$ oder durch Verwendung der standardisierten Zufallsgröße $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ über die Standardnormalverteilung berechnen.
Inverse Verteilungsfunktion
Häufig geht es in Aufgaben darum, zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit, ein passendes Intervall zu bestimmen. Dazu benötigt man die inverse Verteilungsfunktion $ F^{- \, 1}_{N(\mu \, ; \sigma)}$ bzw. $ \Phi^{- \, 1 }$.
Bestimmen Sie ein Gewicht m, so dass oberhalb davon maximal 1 % der Gewichte der Golfbälle liegen.
$P ( X > m ) \leq 0,01 \Leftrightarrow P ( X \leq m ) \geq 0,99 \Leftrightarrow \Phi (\frac{m-50}{2}) \geq 0,99$
$\Phi (\frac{m-50}{2}) \geq 0,99 \Leftrightarrow \frac{m-50}{2} \geq \Phi^{- \, 1 }(0,99) \Leftrightarrow m \geq2 \cdot \Phi^{- \, 1 }(0,99) + 50$
$m \geq \bf 54,66$
Schneller geht es, wenn man $ F^{- \, 1}_{N(50 \, ; 2)}$ verwendet. Probieren Sie das mal aus.
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