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Verteilungsfunktion der Normalverteilung

Ist $ \bf X \sim N(\mu ; \sigma) $ dann hat sie die Verteilungsfunktion

$\large \bf F_N(x) = P( X \leq x) = \int_{-\infty}^x f_N(t) dt$

Die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsgröße $X$ lautet

$\large \bf \Phi(x) = P( X \leq x) = \int_{-\infty}^x \varphi (t) dt$

Sie wird häufig auch Gaußsche Summenfunktion genannt und mit $\Phi$ bezeichnet.

Graph der Gaußschen Summenfunktion
Graph der Gaußschen Summenfunktion

Merke

$\Large \Phi (-x ) = 1 - \Phi (x)$

Ist $X \sim N(\mu ; \sigma)$-verteilt so gilt:

$\Large P ( a \leq X  \leq b ) = \Phi (\frac{b-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a-\mu}{\sigma}) $

Beispiel

In einer Fabrik werden Golfbälle produziert ihr Gewicht ist normalverteilt mit $\mu= 50g$ und $\sigma = 2g$. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten von A={Der Ball wiegt höchstens 45g}, B ={ Der Ball wiegt zwischen 48g und 50g }, C = {Der Ball wiegt mehr als 54g}.

Lösung: $X$ = Gewicht des Golfballs    (Zufallsgröße definieren)

$P(A) = P( X \leq 45 ) = F_{N(50;2)}(45) = \Phi (\frac{45-50}{2}) = \Phi ( - \, 2,5) =\bf 0,0062$

$P(B) = P( 48 \leq X \leq 50 ) = F_{N(50;2)}(50)-F_{N(50;2)}(48)$

$= \Phi (\frac{50-50}{2})-\Phi (\frac{48-50}{2}) = \Phi ( 0) - \Phi(- \, 1) =\bf 0,3413$

$P(C) = P( X > 54 ) = 1- P( X \leq 54 ) = 1- F_{N(50;2)}(54)$

$= 1- \Phi (\frac{54-50}{2}) = 1 - \Phi ( 2 ) =\bf  0,0228$

 

Man kann die Wahrscheinlichkeiten entweder mit der Verteilungsfunktion zu $N(\mu \, ; \, \sigma)$ oder durch Verwendung der standardisierten Zufallsgröße $Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$ über die StandardNormalverteilung berechnen.

Inverse Verteilungsfunktion

Häufig geht es in Aufgaben darum, zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit, ein passendes Intervall zu bestimmen. Dazu benötigt man die inverse Verteilungsfunktion $ F^{- \, 1}_{N(\mu \, ; \sigma)}$ bzw. $ \Phi^{- \, 1 }$.

Bestimmen Sie ein Gewicht m, so dass oberhalb davon maximal 1 % der Gewichte der Golfbälle liegen.

$P ( X > m ) \leq 0,01  \Leftrightarrow P ( X \leq m ) \geq 0,99  \Leftrightarrow \Phi (\frac{m-50}{2}) \geq 0,99$

$\Phi (\frac{m-50}{2}) \geq 0,99 \Leftrightarrow \frac{m-50}{2} \geq \Phi^{- \, 1 }(0,99)  \Leftrightarrow m \geq2 \cdot \Phi^{- \, 1 }(0,99) + 50$

$m \geq \bf 54,66$ 

Schneller geht es, wenn man $ F^{- \, 1}_{N(50 \, ; 2)}$ verwendet. Probieren Sie das mal aus.

Multiple-Choice
Ein Getränkehersteller füllt eine Limonade maschinell ab. Die Füllmengen sind normalverteilt, um die Sollfüllmenge 1 Liter, mit einer Standandardabweichung von 4ml. Geben Sie ein symmetrisches Intervall, um die Sollfüllmenge an, in dem 80 % der Füllmengen liegen.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Skizzieren Sie eine Glockenkurve über der Sollfüllmenge. Überlegen Sie sich welche Bedingungen die Intervallgrenzen erfüllen müssen.

Vorstellung des Online-Kurses StochastikStochastik
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Stochastik

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Beschreibende Statistik
    • Einführung
    • Klassen
    • Mittelwert, Median und Modus
    • Varianz und Standardabweichung
    • Darstellung von statistischen Daten
  • Wahrscheinlichkeit
    • Zufallsexperiment
    • Wahrscheinlichkeitsraum
    • Laplace-Experiment
    • Kombinatorik
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
    • Definition und Beispiele
    • Satz von Bayes
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  • Zufallsgrößen
    • Definition Zufallsgröße
    • Wahrscheinlichkeits- und Dichtefunktion
    • Verteilungsfunktion
    • Erwartungswert einer Zufallsgröße
    • Varianz einer Zufallsgröße
  • Binomialverteilung
    • Bernoulli-Kette
    • Formel von Bernoulli
    • Erwartungswert und Varianz
    • Sigma-Regeln
  • Normalverteilung
    • Dichtefunktion der Normalverteilung
    • Verteilungsfunktion der Normalverteilung
    • Näherung für die Binomialverteilung
    • Zentraler Grenzwertsatz
  • Beurteilende Statistik
    • Einführung beurteilende Statistik
    • Signifikanztest
    • Gütefunktion und Operationscharakteristik
    • Konfidenzintervalle
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