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Wendepunkte

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1

Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt.

Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert.

Am Wendepunkt ist die Steigung (= 1. Ableitung) extremal , d.h. die Steigung hat dort ein Minimum oder ein Maximum. Die zweite Ableitung, die ein Maß für die Krümmung ist, ist am Wendepunkt gleich Null. Eine nähere Erläuterung dieses Sachverhalts erhaltet ihr auf der nächsten Seite.

Arten von Wendepunkten

Es werden vier Arten von Wendepunkten unterschieden.

Rechts-Links-Sattelpunkt
Rechts-Links-Sattelpunkt
Links-Rechts-Sattelpunkt
Links-Rechts-Sattelpunkt
Rechts-Links-Wendepunkt
Rechts-Links-Wendepunkt
Links-Rechts-Wendepunkt
Links-Rechts-Wendepunkt

Funktionen 2. Ordnung, also quadratische Funktionen z.B. f(x)=x² können keine Wendepunkte haben, da sich die Krümmung des Graphen nicht ändert.

Funktionen 3. Ordnung, also kubische Funktionen haben immer einen Wendepunkt.

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Verallgemeinert lässt sich sagen, dass  Funktionen mit geradem Exponenten ab 4. Grades Wendepunkte haben können, Funktionen mit ungeradem Exponenten ab 3. Grades mindestens eine Wendestelle haben.

Merke

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Funktionen ab 4. Grades mit geradem Exponenten können Wendestellen haben, müssen aber nicht. z.B. $x^4, x^6, x^8$ usw.

Funktionen ab 3. Grades mit ungeradem Exponenten haben mindestens eine Wendestelle.

z.B. $x^3, x^5, x^7$ usw.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
      • Fläche im Intervall
      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
        • Kurvenschar Wurzel 2
        • Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
      • Ortslinien von Kurvenscharen
    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
        • Wendepunkte kubische Schar
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
        • Graph kubische Schar
        • Ortslinie der Extrempunkte
  • Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Ableitung der e-Funktion
      • Asymptoten
    • Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einleitung zu Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
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      • komplexe e-Funktion
        • Einleitung zu komplexe e-Funktion
        • Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
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      • Einleitung zu Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
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      • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
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