Einfache e-Funktion
Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion.
Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion
f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ sagen:
- Die Funktion ist eine fallende e-Funktion.
(Begründung: negatives Vorzeichen vorm x) - Die Funktion ist nicht symmetrisch.
(Begründung: keine achsensymmetrische Funktion im Exponent.) - Die Funktion hat bei 2$\cdot e -0,5$ ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.
(Begründung: Wenn x=0 ist, dann ist y=2$\cdot e^{1}-0,5$.) - y=-0,5 ist die Asymptote.
(Begründung: Wenn x gegen +unendlich läuft,
dann läuft die Funktion gegen -0,5, da $e^{-\infty}$=0.)
Damit lässt sich eine erste Skizze anfertigen:
Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.
Definitionsbereich
Da alle x-Werte in die Funktion eingesetzt werden können, gehören alle reelen Zahlen zum Definitionsbereich.
Ergebniss: D=IR
Symmetrie
rechnerischer Nachweis:
Achsensymmetrie: f(-x)=f(x)
f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0,5$=$2\cdot e^{3x+1}-0,5$
f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$
$2\cdot e^{3x+1}-0,5 \neq 2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ -> nicht achsensymmetrisch
Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x)
f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0,5$=$2\cdot e^{3x+1}-0,5$
-f(x)=-$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$=$-2\cdot e^{-3x+1}-0,5$
$2\cdot e^{3x+1}-0,5 \neq -2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ -> nicht punktsymmetrisch
Ergebniss: Die Funktion ist nicht symmetrisch.
y-Achsenabschnitt
Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.
f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0,5$=2$\cdot e^{1}-0,5$=4,94
Ergebniss: y0=4,94
Nullstellen
Bedingung: f(x)=0
$0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ |+0,5
$0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2
$0,25=e^{-3x+1}$ | die ganze Gleichung logaritmieren z.B. mit ln
$\ln (0,25)=\ln (e^{-3x+1})$
$\ln (0,25)=-3x+1$ |-1
$\ln (0,25) -1 = -3x$ |:(-3)
$x=\frac{\ln (0,25)-1}{-3}=0,80$
Ergebnis: X0=0,80
Extrempunkte
a) x-Werte berechnen
Bedingung: f´(x)=0
f´(x)=$2\cdot-3\cdot e^{-3x+1}=-6\cdot e^{-3x+1}$
0=$-6\cdot e^{-3x+1}$
$e^{-3x+1}$ kann niemals 0 werden, daher kann auch die gesamte Gleichung
nicht 0 werden, so dass es keinen Extrempunkt gibt.
b) y-Wert berechnen und c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt.
Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte.
Wendepunkte
Bedingung: f``(x)=0
f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte
Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden.
Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte.
Globalverhalten
Da die Funktion fallend ist gilt:
wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -0,5, y=-0,5 ist die Asymptote.
wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$
Wertebereich
Durch die Asymptote wird der Wertebereich nach unten berschränkt.
W = {x ∈ IR | x > -0,5}
D. h. alle reellen Zahlen größer als -0,5 sind im Wertebereich enthalten.
Monotonie
Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Da hier keine Extrempunkte vorhanden sind, gibt es auch kein Wechsel im Monotonieverhalten.
Da der Exponent negativ ist, ist es eine immer fallende Funktion.
Die Monotonie kann dann folgendermaßen angegeben werden.
smf auf Intervall ]-$\infty$,$+\infty$[
Graph
Um den Graph zu erstellen ist es wichtig, zuerst alle berechneten Punkte und die Asymptote einzutragen.
In unserem Beispiel sind das:
y0=4,94
X0=0,80
Asymptote bei y=-0,5
Sind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte berechnet werden.
Hier ist es z.B. sinnvoll noch einen äußeren Punkt und einen Zwischenpunkt zu berechnen.
f(2)=$-2\cdot e^{-3\cdot 2+1}-0,5$ -> P (2/-0,49)
f(0,25)=$-2\cdot e^{-3\cdot 0,25+1}-0,5$ -> Q (0,25/2,1)
Dann werden die Punkte unter Berücksichtigung der Asymptote zu einem Graphen verbunden.
Anhand des Graphen werden nun nochmal die Aussagen zum Definitionsbereich zur Symmetrie, zur Monotonie, zum Globalverhalten und zum Wertebereich überprüft.
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