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Einfache e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen / Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen

Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. 

Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion
 f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ sagen:

  • Die Funktion ist eine fallende e-Funktion.
    (Begründung: negatives Vorzeichen vorm x)
  • Die Funktion ist nicht symmetrisch.
    (Begründung: keine achsensymmetrische Funktion im Exponent.)
  • Die Funktion hat bei 2$\cdot e -0,5$ ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.
    (Begründung: Wenn x=0 ist, dann ist y=2$\cdot e^{1}-0,5$.)
  • y=-0,5 ist die Asymptote.
    (Begründung: Wenn x gegen +unendlich läuft,
    dann läuft die Funktion gegen -0,5, da $e^{-\infty}$=0.)

Damit lässt sich eine erste Skizze anfertigen:

Skizze Beispiel 1
Skizze Funktionsuntersuchung  einfache e-Funktion

Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.

Definitionsbereich

Da alle x-Werte in die Funktion eingesetzt werden können, gehören alle reelen Zahlen zum Definitionsbereich.

Ergebniss: D=IR

Symmetrie

rechnerischer Nachweis:

Achsensymmetrie: f(-x)=f(x)
                           f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0,5$=$2\cdot e^{3x+1}-0,5$
                           f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$
                           $2\cdot e^{3x+1}-0,5 \neq 2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ -> nicht achsensymmetrisch

Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x)
                         f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0,5$=$2\cdot e^{3x+1}-0,5$
                         -f(x)=-$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$=$-2\cdot e^{-3x+1}-0,5$
                         $2\cdot e^{3x+1}-0,5 \neq -2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ -> nicht punktsymmetrisch

Ergebniss: Die Funktion ist nicht symmetrisch.

y-Achsenabschnitt

Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.

f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0,5$=2$\cdot e^{1}-0,5$=4,94

Ergebniss: y0=4,94

Nullstellen

Bedingung: f(x)=0

$0=2\cdot e^{-3x+1}-0,5$  |+0,5              

$0,5=2\cdot e^{-3x+1}$ |:2             

$0,25=e^{-3x+1}$ | die ganze Gleichung logaritmieren z.B. mit ln        

$\ln (0,25)=\ln (e^{-3x+1})$

$\ln (0,25)=-3x+1$   |-1    

$\ln (0,25) -1 = -3x$  |:(-3)         

$x=\frac{\ln (0,25)-1}{-3}=0,80$

        Ergebnis: X0=0,80

Extrempunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                  f´(x)=$2\cdot-3\cdot e^{-3x+1}=-6\cdot e^{-3x+1}$ 
                 0=$-6\cdot e^{-3x+1}$
                 $e^{-3x+1}$ kann niemals 0 werden, daher kann auch die gesamte Gleichung
                 nicht 0 werden, so dass es keinen Extrempunkt gibt.

b) y-Wert berechnen und c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt.

Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte.

Wendepunkte

Bedingung: f``(x)=0
                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte
                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden.

Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte.

Globalverhalten

Da die Funktion fallend ist gilt:

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -0,5, y=-0,5 ist die Asymptote.

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$

Wertebereich

Durch die Asymptote wird der Wertebereich nach unten berschränkt.

W = {x ∈ IR | x > -0,5}
D. h. alle reellen Zahlen  größer als -0,5 sind im Wertebereich enthalten.

Monotonie

Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Da hier keine Extrempunkte vorhanden sind, gibt es auch kein Wechsel im Monotonieverhalten.

Da der Exponent negativ ist, ist es eine immer fallende Funktion.

Die Monotonie kann dann folgendermaßen angegeben werden.

smf auf Intervall ]-$\infty$,$+\infty$[

Graph

Um den Graph zu erstellen ist es wichtig, zuerst alle berechneten Punkte und die Asymptote einzutragen.
In unserem Beispiel sind das:

y0=4,94

X0=0,80

Asymptote bei y=-0,5

Sind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte berechnet werden.

Hier ist es z.B. sinnvoll noch einen äußeren Punkt und einen Zwischenpunkt zu berechnen.

f(2)=$-2\cdot e^{-3\cdot 2+1}-0,5$ -> P (2/-0,49)

f(0,25)=$-2\cdot e^{-3\cdot 0,25+1}-0,5$ -> Q (0,25/2,1)

Dann werden die Punkte unter Berücksichtigung der Asymptote zu einem Graphen verbunden.

Anhand des Graphen werden nun nochmal die Aussagen zum Definitionsbereich zur Symmetrie, zur Monotonie, zum Globalverhalten und zum Wertebereich überprüft.

Graph einfache e-Funktion
Graph einfache e-Funktion
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
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      • Einleitung zu Integrationsregeln
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        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
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