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Einfache e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen

Bevor du die Funktionsuntersuchung abarbeitest ist es sinnvoll, sich die Funktion anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion aussieht. Mache auch eine Skizze von der Funktion. 

Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion
 f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ sagen:

  • Die Funktion ist eine fallende e-Funktion.
    (Begründung: negatives Vorzeichen vorm x)
  • Die Funktion ist nicht symmetrisch.
    (Begründung: keine achsensymmetrische Funktion im Exponent.)
  • Die Funktion hat bei 2$\cdot e -0,5$ ihren Schnittpunkt mit der y-Achse.
    (Begründung: Wenn x=0 ist, dann ist y=2$\cdot e^{1}-0,5$.)
  • y=-0,5 ist die Asymptote.
    (Begründung: Wenn x gegen +unendlich läuft,
    dann läuft die Funktion gegen -0,5, da $e^{-\infty}$=0.)

Damit lässt sich eine erste Skizze anfertigen:

Skizze Beispiel 1
Skizze Funktionsuntersuchung  einfache e-Funktion

Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.

Definitionsbereich

Da alle x-Werte in die Funktion eingesetzt werden können, gehören alle reelen Zahlen zum Definitionsbereich.

Ergebniss: D=IR

Symmetrie

rechnerischer Nachweis:

Achsensymmetrie: f(-x)=f(x)
                           f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0,5$=$2\cdot e^{3x+1}-0,5$
                           f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$
                           $2\cdot e^{3x+1}-0,5 \neq 2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ -> nicht achsensymmetrisch

Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x)
                         f(-x)=$2\cdot e^{-3(-x)+1}-0,5$=$2\cdot e^{3x+1}-0,5$
                         -f(x)=-$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$=$-2\cdot e^{-3x+1}-0,5$
                         $2\cdot e^{3x+1}-0,5 \neq -2\cdot e^{-3x+1}-0,5$ -> nicht punktsymmetrisch

Ergebniss: Die Funktion ist nicht symmetrisch.

y-Achsenabschnitt

Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt.

f(0)=$2\cdot e^{-3\cdot 0+1}-0,5$=2$\cdot e^{1}-0,5$=4,94

Ergebniss: y0=4,94

Nullstellen

Bedingung: f(x)=0
                 0=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$      /+0,5
                 0,5=$2\cdot e^{-3x+1}$                /:2
              0,25=$e^{-3x+1}$                      / die ganze Gleichung logaritmieren z.B. mit ln
          ln 0,25=ln ($e^{-3x+1}$)= -3x+1      /-1
     ln 0,25 -1 = -3x                                    /:-3
          x=$\frac{ln 0,25-1}{-3}$=0,80

        Ergebnis: X0=0,80

Extrempunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                  f´(x)=$-2\cdot-3\cdot e^{-3x+1}=6\cdot e^{-3x+1}$ 
                 0=$6\cdot e^{-3x+1}$
                 $e^{-3x+1}$ kann niemals 0 werden, daher kann auch die gesamte Gleichung
                 nicht 0 werden, so dass es keinen Extrempunkt gibt.

b) y-Wert berechnen und c) Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt.

Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte.

Wendepunkte

Bedingung: f``(x)=0
                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte
                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden.

Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte.

Globalverhalten

Da die Funktion fallend ist gilt:

wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -0,5, y=-0,5 ist die Asymptote.

wenn x-> $-\infty$, dann f(x) -> $\infty$

Wertebereich

Durch die Asymptote wird der Wertebereich nach unten berschränkt.

W = {x ∈ IR | x > -0,5}
D. h. alle reellen Zahlen  größer als -0,5 sind im Wertebereich enthalten.

Monotonie

Die Monotonie wechselt immer an den Extrempunkten. Da hier keine Extrempunkte vorhanden sind, gibt es auch kein Wechsel im Monotonieverhalten.

Da der Exponent negativ ist, ist es eine immer fallende Funktion.

Die Monotonie kann dann folgendermaßen angegeben werden.

smf auf Intervall ]-$\infty$,$+\infty$[

Graph

Um den Graph zu erstellen ist es wichtig, zuerst alle berechneten Punkte und die Asymptote einzutragen.
In unserem Beispiel sind das:

y0=4,94

X0=0,80

Asymptote bei y=-0,5

Sind die Punkte nicht ausreichend, um den Graph gut zu zeichnen, können noch weitere Stützpunkte berechnet werden.

Hier ist es z.B. sinnvoll noch einen äußeren Punkt und einen Zwischenpunkt zu berechnen.

f(2)=$-2\cdot e^{-3\cdot 2+1}-0,5$ -> P (2/-0,49)

f(0,25)=$-2\cdot e^{-3\cdot 0,25+1}-0,5$ -> Q (0,25/2,1)

Dann werden die Punkte unter Berücksichtigung der Asymptote zu einem Graphen verbunden.

Anhand des Graphen werden nun nochmal die Aussagen zum Definitionsbereich zur Symmetrie, zur Monotonie, zum Globalverhalten und zum Wertebereich überprüft.

Graph einfache e-Funktion
Graph einfache e-Funktion
Multiple-Choice
Welche Aussagen treffen auf die folgende Funktion zu f(x)=$2\cdot e^{-3x+1}-0,5$?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Einfache e-Funktion ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
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