Extrempunkte komplexe e-Funktion
Extrempunkte
a) x-Werte berechnen
Bedingung: f´(x)=0
f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$
Berechnung der 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´(x)=$-9x²\cdot e^{-2x²+1}$+ $-3x³\cdot -4x \cdot e^{-2x²+1}$
f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$
Nullsetzen der Ableitung und nach x auflösen
0=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$
da $e^{-2x²+1}$ niemals 0 werden kann,
müssen wir nur die Nullstellen von $(-9x²+12x^4$) berechnen.
$0=-9x²+12x^4$ / 3x² ausklammern
0=$3x² \cdot (-3+4x²)$
xE1=0
0=4x²-3 /+3
3=4x² / :4
x²=$\frac{3}{4}$=0,75 / $\sqrt{}$
xE2=$\sqrt{0,75}$=0,87
xE3=-$\sqrt{0,75}$=-0,87
b) y-Werte berechnen
Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion
yE1=f(xE1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =
yE1=0
yE2=f(xE2)=f($\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,75})^2+1}$ =-1,18
yE2=-1,18
yE3=f(xE3)=f($-\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (-\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{0,75})^2+1}$ =1,18
yE3=1,18
c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung
f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$
Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5-18x+48x^3)$
f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$
Einsetzen der Extremstellen in die 2. Ableitung
f´´(0)=$e^{-2\cdot 0²+1} \cdot (-48 \cdot 0^5+84 \cdot 0^3-18 \cdot 0)$=0 -> Sattelpunkt, kein Extrempunkt
f´´(0,87)=$e^{-2\cdot 0,87²+1} \cdot (-48 \cdot 0,87^5+84 \cdot 0,87^3-18 \cdot 0,87)$=9,41 > 0 -> Tiefpunkt
f´´(-0,87)=$e^{-2\cdot (-0,87)²+1} \cdot (-48 \cdot (-0,87)^5+84 \cdot (-0,87)^3-18 \cdot (-0,87))$
f´´(-0,87)=-9,41 < 0 -> Hochpunkt
Ergebnis: TP (0,87/-1,18), HP (-0,87/ 1,18), SP (0/0)
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