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Extrempunkte komplexe e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen / komplexe e-Funktion

Extrempunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                  f(x)=$-3x³\cdot e^{-2x²+1}$

Berechnung der 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
                  f´(x)=$-9x²\cdot e^{-2x²+1}$+ $-3x³\cdot -4x \cdot e^{-2x²+1}$
                  f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$

Nullsetzen der Ableitung und nach x auflösen
                 0=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$
                 da $e^{-2x²+1}$ niemals 0 werden kann,
                 müssen wir nur die Nullstellen von $(-9x²+12x^4$) berechnen.

                 $0=-9x²+12x^4$      / 3x² ausklammern
                 0=$3x² \cdot (-3+4x²)$
                  xE1=0

                0=4x²-3    /+3
                3=4x²       / :4
                x²=$\frac{3}{4}$=0,75  / $\sqrt{}$
                xE2=$\sqrt{0,75}$=0,87
                xE3=-$\sqrt{0,75}$=-0,87

b) y-Werte berechnen

Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion

yE1=f(xE1)=f(0)=$-3\cdot 0^3\cdot e^{-2\cdot (0^2+1}$ =
yE1=0

yE2=f(xE2)=f($\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((\sqrt{0,75})^2+1}$ =-1,18
yE2=-1,18

yE3=f(xE3)=f($-\sqrt{0,75}$)=$-3\cdot (-\sqrt{0,75})^3\cdot e^{-2\cdot ((-\sqrt{0,75})^2+1}$ =1,18
yE3=1,18

c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung

f´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$

Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=$-4x \cdot e^{-2x²+1} \cdot (-9x²+12x^4)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5)$+$e^{-2x²+1} \cdot (-18x+48x^3)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (36x^3-48x^5-18x+48x^3)$

f´´(x)=$e^{-2x²+1} \cdot (-48x^5+84x^3-18x)$

Einsetzen der Extremstellen in die 2. Ableitung

f´´(0)=$e^{-2\cdot 0²+1} \cdot (-48 \cdot 0^5+84 \cdot 0^3-18 \cdot 0)$=0 -> Sattelpunkt, kein Extrempunkt

f´´(0,87)=$e^{-2\cdot 0,87²+1} \cdot (-48 \cdot 0,87^5+84 \cdot 0,87^3-18 \cdot 0,87)$=9,41 > 0 -> Tiefpunkt

f´´(-0,87)=$e^{-2\cdot (-0,87)²+1} \cdot (-48 \cdot (-0,87)^5+84 \cdot (-0,87)^3-18 \cdot (-0,87))$
f´´(-0,87)=-9,41 < 0 -> Hochpunkt

Ergebnis:      TP (0,87/-1,18),       HP (-0,87/ 1,18),            SP (0/0)

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument Extrempunkte komplexe e-Funktion ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
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    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
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      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
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    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
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