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in Mathematik

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Extrempunkte komplexe e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen / Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen / komplexe e-Funktion

Extrempunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                  f(x)=−3x³⋅e−2x²+1

Berechnung der 1. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
                  f´(x)=−9x²⋅e−2x²+1+ −3x³⋅−4x⋅e−2x²+1
                  f´(x)=e−2x²+1⋅(−9x²+12x4)

Nullsetzen der Ableitung und nach x auflösen
                 0=e−2x²+1⋅(−9x²+12x4)
                 da e−2x²+1 niemals 0 werden kann,
                 müssen wir nur die Nullstellen von (−9x²+12x4) berechnen.

                 0=−9x²+12x4      / 3x² ausklammern
                 0=3x²⋅(−3+4x²)
                  xE1=0

                0=4x²-3    /+3
                3=4x²       / :4
                x²=34=0,75  /
                xE2=0,75=0,87
                xE3=-0,75=-0,87

b) y-Werte berechnen

Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion

yE1=f(xE1)=f(0)=−3⋅03⋅e−2⋅(02+1 =
yE1=0

yE2=f(xE2)=f(0,75)=−3⋅(0,75)3⋅e−2⋅((0,75)2+1 =-1,18
yE2=-1,18

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yE3=f(xE3)=f(−0,75)=−3⋅(−0,75)3⋅e−2⋅((−0,75)2+1 =1,18
yE3=1,18

c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung

f´(x)=e−2x²+1⋅(−9x²+12x4)

Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=−4x⋅e−2x²+1⋅(−9x²+12x4)+e−2x²+1⋅(−18x+48x3)

f´´(x)=e−2x²+1⋅(36x3−48x5)+e−2x²+1⋅(−18x+48x3)

f´´(x)=e−2x²+1⋅(36x3−48x5−18x+48x3)

f´´(x)=e−2x²+1⋅(−48x5+84x3−18x)

Einsetzen der Extremstellen in die 2. Ableitung

f´´(0)=e−2⋅0²+1⋅(−48⋅05+84⋅03−18⋅0)=0 -> Sattelpunkt, kein Extrempunkt

f´´(0,87)=e−2⋅0,87²+1⋅(−48⋅0,875+84⋅0,873−18⋅0,87)=9,41 > 0 -> Tiefpunkt

f´´(-0,87)=e−2⋅(−0,87)²+1⋅(−48⋅(−0,87)5+84⋅(−0,87)3−18⋅(−0,87))
f´´(-0,87)=-9,41 < 0 -> Hochpunkt

Ergebnis:      TP (0,87/-1,18),       H. (-0,87/ 1,18),            SP (0/0)

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Grundlagen der Analysis (Analysis 1) zum Kurs
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
      • Fläche im Intervall
      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
        • Kurvenschar Wurzel 2
        • Kurvenschar Hochpunkt/Tiefpunkt
      • Ortslinien von Kurvenscharen
    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
        • Wendepunkte kubische Schar
        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
        • Graph kubische Schar
        • Ortslinie der Extrempunkte
  • Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Ableitung der e-Funktion
      • Asymptoten
    • Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einleitung zu Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
      • Einfache e-Funktion
      • komplexe e-Funktion
        • Einleitung zu komplexe e-Funktion
        • Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
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    • Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
      • Einleitung zu Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
      • Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
      • Extrempunkte der e-Schar
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