senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
Nicht jede gebrochenrationale Funktion hat eine senkrechte Asymptote. Es gibt auch Funktionen bei denen der Nenner keine Nullstelle hat z.B. $f(x)= \frac{x^2-1}{x^2+2}$ oder bei denen eine hebbare Definitionslücke existiert, d.h. der Zähler und der Nenner haben eine gleiche Nullstelle, so dass dieser Linearfaktor gestrichen werden kann z.B. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)\cdot(x-1)}{x+1}=x-1$.
Merke
Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare Definitionslücke existiert, sind die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken (genauer Polstellen) von der Funktion. Diese Polstelle wird auch senkrechte Asymptote genannt. Asymptoten sind Funktionen die von der Funktion im Grenzverhalten nicht erreicht werden.
Berechnung am Beispiel
Beispiel
$f(x)= \frac{x^2-1}{x+2}$
Nullstellen des Zählers: $0=x^2-1$ -> $x_1=1, x_2=-1$, das sind die Nullstellen der Funktion.
Nullstellen des Nenners: $0=x+2$ -> x=-2, das ist die Definitionslücke.
Damit ändert sich hier der Definitionsbereich ID = IR \ {-2}.
Senkrechte Asymptoten müssen immer aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel
Nähert man sich der Polstelle von links und rechts mithilfe von Grenzwerten, so kann man beobachten, dass manche Polstellen einen Vorzeichenwechsel verursachen, andere jedoch nicht.
Merke
Nullstellen des Nenners 1., 3. , 5. usw. Ordnung = Polstelle mit Vorzeichenwechsel
Nullstellen des Nenners 2., 4. , 6. usw. Ordnung = Polstelle ohne Vorzeichenwechsel
Um die Ordnung der Polstelle zu erkennen muss der Nenner als Linearfaktorzerlegung vorliegen.
Beispiel
$f(x)= \frac{x^2-1}{(x+2)^1}$ - Nullstelle 1. Ordnung -> Polstelle mit VZW
$f(x)= \frac{x^2-1}{(x+2)^2}$ - Nullstelle 2. Ordnung -> Polstelle ohne VZW
$f(x)= \frac{x^2-1}{(x^2-6x+9)}$ - hier kann die Ordnung nicht direkt abgelesen werden, sondern der Nenner muss erst durch Polynomdivision umgewandelt werden, dazu müssen die Nullstellen bekannt sein.
$f(x)= \frac{x^2-1}{(x^2-6x+9)}=\frac{x^2-1}{(x-3)^2}$ - Nullstelle 2. Ordnung -> Polstelle ohne VZW
Hier ein Video zur Polynomdivision.
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