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senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich

Funktionsklassen
gebrochenrationale Funktionen

Nicht jede gebrochenrationale Funktion hat eine senkrechte Asymptote. Es gibt auch Funktionen bei denen der Nenner keine Nullstelle hat z.B. $f(x)= \frac{x^2-1}{x^2+2}$ oder bei denen eine hebbare Definitionslücke existiert, d.h. der Zähler und der Nenner haben eine gleiche Nullstelle, so dass dieser Linearfaktor gestrichen werden kann z.B. $f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x+1)\cdot(x-1)}{x+1}=x-1$.

Merke

Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben, d.h. keine hebbare Definitionslücke existiert, sind die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken (genauer Polstellen) von der Funktion. Diese Polstelle wird auch senkrechte Asymptote genannt. Asymptoten sind Funktionen die von der Funktion im Grenzverhalten nicht erreicht werden.

Berechnung am Beispiel

Beispiel

$f(x)= \frac{x^2-1}{x+2}$

Nullstellen des Zählers: $0=x^2-1$ -> $x_1=1, x_2=-1$, das sind die Nullstellen der Funktion.

Nullstellen des Nenners: $0=x+2$ -> x=-2, das ist die Definitionslücke.

Damit ändert sich hier der Definitionsbereich I‍D = I‍R \ {-2}.

Senkrechte Asymptoten müssen immer aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

senkrechte Asmyptote
senkrechte Asymptote bei x=-2

Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel

Nähert man sich der Polstelle von links und rechts mithilfe von Grenzwerten, so kann man beobachten, dass manche Polstellen einen Vorzeichenwechsel verursachen, andere jedoch nicht.

Merke

 Nullstellen des Nenners 1., 3. , 5. usw.  Ordnung = Polstelle mit Vorzeichenwechsel

 Nullstellen des Nenners 2., 4. , 6. usw.  Ordnung = Polstelle ohne Vorzeichenwechsel

Um die Ordnung der Polstelle zu erkennen muss der Nenner als Linearfaktorzerlegung vorliegen.

Beispiel

$f(x)= \frac{x^2-1}{(x+2)^1}$ - Nullstelle 1. Ordnung -> Polstelle mit VZW

$f(x)= \frac{x^2-1}{(x+2)^2}$ - Nullstelle 2. Ordnung -> Polstelle ohne VZW

$f(x)= \frac{x^2-1}{(x^2-6x+9)}$ - hier kann die Ordnung nicht direkt abgelesen werden, sondern der Nenner muss erst durch Polynomdivision umgewandelt werden, dazu müssen die Nullstellen bekannt sein.

$f(x)= \frac{x^2-1}{(x^2-6x+9)}=\frac{x^2-1}{(x-3)^2}$ - Nullstelle 2. Ordnung -> Polstelle ohne VZW

Hier ein Video zur Polynomdivision.

Video: senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich

Wenn der Zähler und der Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben sind die Nullstellen des Nenners die Definitionslücken (genauer Polstellen) von der Funktion. Diese Polstelle wird auch senkrechte Asymptote genannt.
Multiple-Choice
Wann gibt es keine senkrechten Asymptoten bei gebrochenrationalen Funktionen?
0/0
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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