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kubische Funktionenschar

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung

Zur Erinnerung unsere Beispielfunktion: f(x)=-2tx³+3t²x

Auch hier ist es sinnvoll sich die Funktion erst anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion ungefähr aussieht. Mache dir auch eine Skizze von der Funktion.

Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=-2tx³+3t²x sagen:

  • Die Funktion ist eine kubische Funktion, die bei t>0 von links oben nach rechts unten durch das Koordinatensystem läuft
    (Begründung: x³ ist negativ)
  • Die Funktion ist eine kubische Funktion, die bei t<0 von rechts oben nach links unten durch das Koordinatensystem läuft
    (Begründung: x³ ist positiv, da -2 * negatives t = postitiv)
  • Bei t=0 ergibt sich die Funktion f(x)=0.
  • Die Funktion ist punktsymmetrisch.
    (Begründung: Alle Exponenten sind ungerade, x3 und x1)
  • Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.
    (Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0)
  • Extrempunkte können auftreten (2 oder keiner).
    (Begründung: Jede kubische Funktion hat 2 oder keine Extrempunkte)
  • Die Funktion muss einen Wendepunkt haben.
    (Begründung: Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt.)

Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.

Damit du schon mal einen Eindruck von der Funktion bekommst kannst du sie dir im Geogebra-Applet ansehen.

Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.

Bei der Animation kannst du sehr gut sehen, dass es bei t0 einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Das muss bei den Berechnungen dann auch herauskommen.

Ähnlich ist es bei den Nullstellen. Auch da gibt es Unterschiede bei t0. Bei t0 drei Nullstellen.

Bei der Berechnung müssen also die Nullstellen und die Extremstellen in Abhängigkeit von t klassifiziert werden.

Multiple-Choice
Was kann man ohne schriftliche Untersuchung über die Schar sagen f(x)=5tx²-3t²x ?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument kubische Funktionenschar ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
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  • Gute Bewertung für Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
    "Einfach genial! Gut und verständlich erklärt (auf den Punkt gebracht)"

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