kubische Funktionenschar
Zur Erinnerung unsere Beispielfunktion: f(x)=-2tx³+3t²x
Auch hier ist es sinnvoll sich die Funktion erst anzusehen und zu überlegen welche Besonderheiten diese hat und wie die Funktion ungefähr aussieht. Mache dir auch eine Skizze von der Funktion.
Ohne Taschenrechner und schriftliche Rechnungen lässt sich folgendes über die Funktion f(x)=-2tx³+3t²x sagen:
- Die Funktion ist eine kubische Funktion, die bei t>0 von links oben nach rechts unten durch das Koordinatensystem läuft
(Begründung: x³ ist negativ) - Die Funktion ist eine kubische Funktion, die bei t<0 von rechts oben nach links unten durch das Koordinatensystem läuft
(Begründung: x³ ist positiv, da -2 * negatives t = postitiv) - Bei t=0 ergibt sich die Funktion f(x)=0.
- Die Funktion ist punktsymmetrisch.
(Begründung: Alle Exponenten sind ungerade, x3 und x1) - Der y-Achsenabschnitt liegt bei 0.
(Begründung: Wenn x=0,dann ist y=0) - Extrempunkte können auftreten (2 oder keiner).
(Begründung: Jede kubische Funktion hat 2 oder keine Extrempunkte) - Die Funktion muss einen Wendepunkt haben.
(Begründung: Jede kubische Funktion hat genau einen Wendepunkt.)
Wenn du einen Taschenrechner mit Graphikmenü besitzt, solltest du dir die Funktion am Anfang auch schon ansehen.
Damit du schon mal einen Eindruck von der Funktion bekommst kannst du sie dir im Geogebra-Applet ansehen.
Bei der Animation kannst du sehr gut sehen, dass es bei t0 einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Das muss bei den Berechnungen dann auch herauskommen.
Ähnlich ist es bei den Nullstellen. Auch da gibt es Unterschiede bei t0. Bei t0 drei Nullstellen.
Bei der Berechnung müssen also die Nullstellen und die Extremstellen in Abhängigkeit von t klassifiziert werden.
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