abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

Im Kurspaket Mathematik erwarten Dich:
  • 200 Lernvideos
  • 415 Lerntexte
  • 592 interaktive Übungen
  • original Abituraufgaben

waagerechte und schiefe Asymptoten

Funktionsklassen
gebrochenrationale Funktionen
WebinarTerminankündigung:
 Am 12.04.2022 (ab 16:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Analysis - perfekt vorbereitet für dein Mathe-Abi!
- In diesem Gratis-Webinar wiederholen wir das Thema Analysis für dein Mathe-Abi!
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

Neben den senkrechten Asymptoten, die an den Polstellen entstehen, gibt es aber auch waagerechte, schiefe und gekrümmte Asymptoten.

Das asymptotische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Zähler- und Nennergrad ab. Es werden drei verschiedene Fälle unterschieden:

Grad des Zählers ist kleiner als Grad des Nenners

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners

Die x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners

$f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$

Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3 

2 x-Achse ist waagerechte Asymptote

waagerechte Asymptote
waagerechte Asymptote

Grad des Zählers entspricht Grad des Nenners

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners

Die waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion.

Die Konstante c kann durch die Grenzwertbildung bestimmt werden.

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners

$f(x)= \frac{3x^2-1}{2x^2-3}$

Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 2

2=2 -> waagerechte Asymptote ist y=1,5

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{3x^2-1}{2x^2-3}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}=\frac{3}{2}=1,5$

Als Grenzwert kommt bei einer Funktion $f(x)= \frac{ax^m+...}{bx^m+...}$ immer $\frac{a}{b}$ raus.

waagerechte Asymptote
waagerechte Asymptote

Grad des Zählers ist größer als Grad des Nenners

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

3. Fall Grad des Zählers > Grad des Nenners

Die Asymtote kann eine Gerade oder eine andere Funktion sein in Abhängigkeit des Unterschiedes.

Grad des Zählers - Grad des Nenners = 1 ->lineare Funktion

Grad des Zählers - Grad des Nenners =2 -> Parabel

Grad des Zählers - Grad des Nenners = 3 -> kubische Funktion u.s.w.

Die Funktion kann durch die Polynomdivision und Grenzwertbildung bestimmt werden.

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

3. Fall Grad des Zählers >Grad des Nenners

$f(x)= \frac{x^3-1}{x^2-3}$

Grad des Zählers =3, Grad des Nenners = 2

3>2 , 3-2=1 -> lineare Funktion d.h. Gerade als Asymptote.

Polynomdivision: $x^3-1: (x^2-3)=x+\frac{3x-1}{x^2-3}$

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} x+\frac{3x-1}{x^2-3}=x+0, a(x)=x$ ist dann die Asymptote.

schiefe Asymptote
schiefe Asymptote
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

abiweb - Abitur-Vorbereitung online (abiweb.de)
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
        • Begriffe der Trassierung
        • Vorgehen bei der Trassierung
        • Beispiel einer Trassierung
      • Steckbriefaufgaben
        • Einleitung zu Steckbriefaufgaben
        • Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
        • 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
        • 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
  • Integralrechnung
    • Einleitung zu Integralrechnung
    • partielle Integration
    • Integration durch Substitution
    • Rotationsvolumen
  • Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • Einleitung zu Wachstums- und Zerfallsprozesse
    • lineares Wachstum
    • exponentielles Wachstum
    • beschränktes Wachstum
      • Einleitung zu beschränktes Wachstum
      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: y-Wert berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ungleichung lösen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung einer e-Funktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Gleichung beweisen
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 43
  • 13
  • 56
  • 28