waagerechte und schiefe Asymptoten
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Neben den senkrechten Asymptoten, die an den Polstellen entstehen, gibt es aber auch waagerechte, schiefe und gekrümmte Asymptoten.
Das asymptotische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Zähler- und Nennergrad ab. Es werden drei verschiedene Fälle unterschieden:
Grad des Zählers ist kleiner als Grad des Nenners
Methode
1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners
Die x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.
Beispiel
1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners
$f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$
Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3
2 x-Achse ist waagerechte Asymptote
Grad des Zählers entspricht Grad des Nenners
Methode
2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners
Die waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion.
Die Konstante c kann durch die Grenzwertbildung bestimmt werden.
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$
Beispiel
2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners
$f(x)= \frac{3x^2-1}{2x^2-3}$
Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 2
2=2 -> waagerechte Asymptote ist y=1,5
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{3x^2-1}{2x^2-3}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}=\frac{3}{2}=1,5$
Als Grenzwert kommt bei einer Funktion $f(x)= \frac{ax^m+...}{bx^m+...}$ immer $\frac{a}{b}$ raus.
Grad des Zählers ist größer als Grad des Nenners
Methode
3. Fall Grad des Zählers > Grad des Nenners
Die Asymtote kann eine Gerade oder eine andere Funktion sein in Abhängigkeit des Unterschiedes.
Grad des Zählers - Grad des Nenners = 1 ->lineare Funktion
Grad des Zählers - Grad des Nenners =2 -> Parabel
Grad des Zählers - Grad des Nenners = 3 -> kubische Funktion u.s.w.
Die Funktion kann durch die Polynomdivision und Grenzwertbildung bestimmt werden.
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$
Beispiel
3. Fall Grad des Zählers >Grad des Nenners
$f(x)= \frac{x^3-1}{x^2-3}$
Grad des Zählers =3, Grad des Nenners = 2
3>2 , 3-2=1 -> lineare Funktion d.h. Gerade als Asymptote.
Polynomdivision: $x^3-1: (x^2-3)=x+\frac{3x-1}{x^2-3}$
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} x+\frac{3x-1}{x^2-3}=x+0, a(x)=x$ ist dann die Asymptote.
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