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waagerechte und schiefe Asymptoten

Funktionsklassen
gebrochenrationale Funktionen

Neben den senkrechten Asymptoten, die an den Polstellen entstehen, gibt es aber auch waagerechte, schiefe und gekrümmte Asymptoten.

Das asymptotische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Zähler- und Nennergrad ab. Es werden drei verschiedene Fälle unterschieden:

Grad des Zählers ist kleiner als Grad des Nenners

Methode

1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners

Die x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.

Beispiel

1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners

$f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$

Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3 

2<3 -> x-Achse ist waagerechte Asymptote

waagerechte Asymptote
waagerechte Asymptote

Grad des Zählers entspricht Grad des Nenners

Methode

2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners

Die waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion.

Die Konstante c kann durch die Grenzwertbildung bestimmt werden.

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$

Beispiel

2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners

$f(x)= \frac{3x^2-1}{2x^2-3}$

Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 2

2=2 -> waagerechte Asymptote ist y=1,5

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{3x^2-1}{2x^2-3}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}=\frac{3}{2}=1,5$

Als Grenzwert kommt bei einer Funktion $f(x)= \frac{ax^m+...}{bx^m+...}$ immer $\frac{a}{b}$ raus.

waagerechte Asymptote
waagerechte Asymptote

Grad des Zählers ist größer als Grad des Nenners

Methode

3. Fall Grad des Zählers > Grad des Nenners

Die Asymtote kann eine Gerade oder eine andere Funktion sein in Abhängigkeit des Unterschiedes.

Grad des Zählers - Grad des Nenners = 1 ->lineare Funktion

Grad des Zählers - Grad des Nenners =2 -> Parabel

Grad des Zählers - Grad des Nenners = 3 -> kubische Funktion u.s.w.

Die Funktion kann durch die Polynomdivision und Grenzwertbildung bestimmt werden.

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$

Beispiel

3. Fall Grad des Zählers >Grad des Nenners

$f(x)= \frac{x^3-1}{x^2-3}$

Grad des Zählers =3, Grad des Nenners = 2

3>2 , 3-2=1 -> lineare Funktion d.h. Gerade als Asymptote.

Polynomdivision: $x^3-1: (x^2-3)=x+\frac{3x-1}{x^2-3}$

$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} x+\frac{3x-1}{x^2-3}=x+0, a(x)=x$ ist dann die Asymptote.

schiefe Asymptote
schiefe Asymptote
Multiple-Choice
Wann ist eine Gerade die Asymptote?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument waagerechte und schiefe Asymptoten ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

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  • Einleitung zur weiterführenden Analysis
    • Einleitung zu Einleitung zur weiterführenden Analysis
  • Funktionsklassen
    • Einleitung zu Funktionsklassen
    • Logarithmusfunktionen
    • gebrochenrationale Funktionen
      • Einleitung zu gebrochenrationale Funktionen
      • senkrechte Asymptoten - Definitionsbereich
      • waagerechte und schiefe Asymptoten
  • Differentialrechnung
    • Einleitung zu Differentialrechnung
    • Tangenten- und Normalengleichungen
    • Extremwertaufgaben (Optimierung)
    • Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Einleitung zu Bestimmen von Funktionsgleichungen
      • Regression und Interplolation
      • Trassierung
        • Einleitung zu Trassierung
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      • Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
        • Einleitung zu Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz
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        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: x-Wert bestimmen
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        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Abkühlungsfaktor berechnen
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        • Newtonsches Abkühlungsgesetz: Ableitung der Abkühlungsfunktion
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    • Logistisches Wachstum
      • Einleitung zu Logistisches Wachstum
      • Aufgabe zum logistischen Wachstum
      • Logistisches Wachstum - Differentialgleichung
      • Logistisches Wachstum - Wachstum Fichtenumfang berechnen
      • Logistisches Wachstum - Approximation
  • Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Einleitung zu Aufgaben ohne Hilfsmittel im Abitur
    • Anzahl von Wendepunkten bestimmen
  • 42
  • 13
  • 56
  • 12

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