waagerechte und schiefe Asymptoten
Neben den senkrechten Asymptoten, die an den Polstellen entstehen, gibt es aber auch waagerechte, schiefe und gekrümmte Asymptoten.
Das asymptotische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion hängt ausschließlich vom Verhältnis zwischen Zähler- und Nennergrad ab. Es werden drei verschiedene Fälle unterschieden:
Grad des Zählers ist kleiner als Grad des Nenners
Methode
1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners
Die x-Achse d.h. f(x)=0 ist immer die waagerechte Asymptote.
Beispiel
1. Fall Grad des Zählers < Grad des Nenners
$f(x)= \frac{x^2-1}{x^3+2}$
Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 3
2 x-Achse ist waagerechte Asymptote
Grad des Zählers entspricht Grad des Nenners
Methode
2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners
Die waagerechte Asymptote hat die Form f(x)=c. Dies ist eine konstante Funktion.
Die Konstante c kann durch die Grenzwertbildung bestimmt werden.
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$
Beispiel
2. Fall Grad des Zählers = Grad des Nenners
$f(x)= \frac{3x^2-1}{2x^2-3}$
Grad des Zählers =2, Grad des Nenners = 2
2=2 -> waagerechte Asymptote ist y=1,5
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{3x^2-1}{2x^2-3}=\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3}{x^2}}=\frac{3}{2}=1,5$
Als Grenzwert kommt bei einer Funktion $f(x)= \frac{ax^m+...}{bx^m+...}$ immer $\frac{a}{b}$ raus.
Grad des Zählers ist größer als Grad des Nenners
Methode
3. Fall Grad des Zählers > Grad des Nenners
Die Asymtote kann eine Gerade oder eine andere Funktion sein in Abhängigkeit des Unterschiedes.
Grad des Zählers - Grad des Nenners = 1 ->lineare Funktion
Grad des Zählers - Grad des Nenners =2 -> Parabel
Grad des Zählers - Grad des Nenners = 3 -> kubische Funktion u.s.w.
Die Funktion kann durch die Polynomdivision und Grenzwertbildung bestimmt werden.
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=c$
Beispiel
3. Fall Grad des Zählers >Grad des Nenners
$f(x)= \frac{x^3-1}{x^2-3}$
Grad des Zählers =3, Grad des Nenners = 2
3>2 , 3-2=1 -> lineare Funktion d.h. Gerade als Asymptote.
Polynomdivision: $x^3-1: (x^2-3)=x+\frac{3x-1}{x^2-3}$
$\lim_{x \rightarrow \pm \infty} x+\frac{3x-1}{x^2-3}=x+0, a(x)=x$ ist dann die Asymptote.
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