Extrempunkte kubische Schar
Extrempunkte
Berechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²x
a) x-Werte berechnen
Bedingung: f´(x)=0
f´(x)=-6tx²+3t²
0=-6tx²+3t², nach x² umstellen
0=-6tx²+3t² /+6tx²
6tx²=3t² /: 6t (nur möglich wenn t nicht 0)
x²=$\frac{3}{6}$ t / $\sqrt {}$
xE1,E2=$\pm \sqrt{\frac{1}{2}t}$
Diese zwei Ergebnisse sind nur sinnvoll, wenn $t\ge0$, da sonst unter der Wurzel eine negative Zahl steht und es dann keine Lösung gibt. t=0 ist auch nicht erlaubt, da wir sonst nicht durch 6t hätten teilen dürfen.
Ergebnis: xE1=$\sqrt{\frac{1}{2}t}$=0,71$\sqrt{t}$ für t >0 xE2=-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$=-0,71$\sqrt{t}$ für t >0
Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass der Betrag der Extremstellen größer wird, wenn t größer wird, d.h. das die Extremstellen auseinander wandern.
b) y-Werte berechnen
yE1-Wert
yE1=f(xE1)=f($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-2t$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)³+3t²$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)
Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise.
yE1=-2t$\cdot \sqrt{\frac{1}{2^3}}\cdot t^\frac{3}{2}$+3t²$\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot t^{\frac{1}{2}}$
Jetzt können wir die t´s und die Zahlen zusammenfassen.
yE1=-$ \sqrt{\frac{4}{2^3}}\cdot t^\frac{5}{2}$+$ \sqrt{\frac{9}{2}}\cdot t^{\frac{5}{2}}$
In beiden Termen steht jetzt $t^{\frac{5}{2}}$, so dass wir genau das ausklammern können.
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\sqrt{\frac{4}{8}}+ \sqrt{\frac{9}{2}})$
Die Terme in der Klammer sind nur Zahlen, die wir auch wieder zusammenfassen können.
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{3}{\sqrt{2}})$
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(\frac{2}{\sqrt{2}})$
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(\sqrt{\frac{4}{2}})$=$t^\frac{5}{2} \cdot\sqrt{2}$
Jetzt können wir $t^\frac{5}{2} $ wieder als Wurzel schreiben und mit der Zahl zusammenfassen:
Ergebnis: yE1=$\sqrt{2t^5}$
yE2-Wert
yE2 geht genauso:
yE2=f(xE2)=f(-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-2t$\cdot(-\sqrt{\frac{1}{2}t}$)³+3t²$\cdot(-\sqrt{\frac{1}{2}t}$)
Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise. Aus (-)³ wird - mit dem - vorn ergibt sich +, aus dem + hinten wird -.
yE2=+2t$\cdot \sqrt{\frac{1}{2^3}}\cdot t^\frac{3}{2}$-3t²$\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot t^{\frac{1}{2}}$
Jetzt können wir die t´s und die Zahlen zusammenfassen.
yE2=+$ \sqrt{\frac{4}{2^3}}\cdot t^\frac{5}{2}$-$ \sqrt{\frac{9}{2}}\cdot t^{\frac{5}{2}}$
In beiden Termen steht jetzt $t^{\frac{5}{2}}$, so dass wir genau das ausklammern können.
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(\sqrt{\frac{4}{8}}- \sqrt{\frac{9}{2}})$
Die Terme in der Klammer sind nur Zahlen, die wir auch wieder zusammenfassen können.
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(\frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{3}{\sqrt{2}})$
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\frac{2}{\sqrt{2}})$
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\sqrt{\frac{4}{2}})$=-$t^\frac{5}{2} \cdot\sqrt{2}$
Jetzt können wir $t^\frac{5}{2} $ wieder als Wurzel schreiben und mit der Zahl zusammenfassen:
Ergebnis: yE1=-$\sqrt{2t^5}$
c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung
Berechnen der 2. Ableitung
f´(x)=-6tx²+3t²
f´´(x)=-12tx
Einsetzen des xE1- und xE2-Wertes in die 2. Ableitung
f´´($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$
f´´(-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=+12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$
Die 2. Ableitungen sind nur definiert, wenn t$\ge$ 0 ist. t=0 ist auch schon ausgeschlossen, da wir sonst bei a nicht durch t hätten dividieren dürfen.
Das bedeutet, das es nur für t>0 Extrempunkte gibt. Die Art der Extrempunkte ergibt sich aus dem Wert der 2. Ableitung für t>0.
f´´($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$ Hochpunkt
f´´(-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=+12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$ >0 -> Tiefpunkt
Ergebnisse
HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) für t > 0
TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ ) für t > 0
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