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Extrempunkte kubische Schar

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung / kubische Funktionenschar

Extrempunkte

Berechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²x

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                 f´(x)=-6tx²+3t²
                 0=-6tx²+3t², nach x² umstellen
                 0=-6tx²+3t²       /+6tx²
                6tx²=3t²              /: 6t  (nur möglich wenn t nicht 0)
                 x²=$\frac{3}{6}$ t   / $\sqrt {}$
               xE1,E2=$\pm \sqrt{\frac{1}{2}t}$
Diese zwei Ergebnisse sind nur sinnvoll, wenn $t\ge0$, da sonst unter der Wurzel eine negative Zahl steht und es dann keine Lösung gibt. t=0 ist auch nicht erlaubt, da wir sonst nicht durch 6t hätten teilen dürfen.

Ergebnis: xE1=$\sqrt{\frac{1}{2}t}$=0,71$\sqrt{t}$   für t >0     xE2=-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$=-0,71$\sqrt{t}$  für t >0

Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass der Betrag der Extremstellen größer wird, wenn t größer wird, d.h. das die Extremstellen auseinander wandern.

b) y-Werte berechnen

yE1-Wert

yE1=f(xE1)=f($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-2t$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)³+3t²$\cdot(\sqrt{\frac{1}{2}t}$)

Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise.
yE1=-2t$\cdot \sqrt{\frac{1}{2^3}}\cdot t^\frac{3}{2}$+3t²$\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot t^{\frac{1}{2}}$

Jetzt können wir die t´s und die Zahlen zusammenfassen.
yE1=-$ \sqrt{\frac{4}{2^3}}\cdot t^\frac{5}{2}$+$ \sqrt{\frac{9}{2}}\cdot t^{\frac{5}{2}}$

In beiden Termen steht jetzt $t^{\frac{5}{2}}$, so dass wir genau das ausklammern können.
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\sqrt{\frac{4}{8}}+ \sqrt{\frac{9}{2}})$

Die Terme in der Klammer sind nur Zahlen, die wir auch wieder zusammenfassen können.
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{3}{\sqrt{2}})$
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(\frac{2}{\sqrt{2}})$
yE1=$t^\frac{5}{2} \cdot(\sqrt{\frac{4}{2}})$=$t^\frac{5}{2} \cdot\sqrt{2}$

Jetzt können wir $t^\frac{5}{2} $ wieder als Wurzel schreiben und mit der Zahl zusammenfassen:
Ergebnis:    yE1=$\sqrt{2t^5}$

yE2-Wert

yE2 geht genauso:

yE2=f(xE2)=f(-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-2t$\cdot(-\sqrt{\frac{1}{2}t}$)³+3t²$\cdot(-\sqrt{\frac{1}{2}t}$)

Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise. Aus (-)³ wird - mit dem - vorn ergibt sich +, aus dem + hinten wird -.
yE2=+2t$\cdot \sqrt{\frac{1}{2^3}}\cdot t^\frac{3}{2}$-3t²$\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot t^{\frac{1}{2}}$

Jetzt können wir die t´s und die Zahlen zusammenfassen.
yE2=+$ \sqrt{\frac{4}{2^3}}\cdot t^\frac{5}{2}$-$ \sqrt{\frac{9}{2}}\cdot t^{\frac{5}{2}}$

In beiden Termen steht jetzt $t^{\frac{5}{2}}$, so dass wir genau das ausklammern können.
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(\sqrt{\frac{4}{8}}- \sqrt{\frac{9}{2}})$

Die Terme in der Klammer sind nur Zahlen, die wir auch wieder zusammenfassen können.
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(\frac{1}{\sqrt{2}}- \frac{3}{\sqrt{2}})$
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\frac{2}{\sqrt{2}})$
yE2=$t^\frac{5}{2} \cdot(-\sqrt{\frac{4}{2}})$=-$t^\frac{5}{2} \cdot\sqrt{2}$

Jetzt können wir $t^\frac{5}{2} $ wieder als Wurzel schreiben und mit der Zahl zusammenfassen:
Ergebnis:   yE1=-$\sqrt{2t^5}$

c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung

Berechnen der 2. Ableitung

f´(x)=-6tx²+3t²
f´´(x)=-12tx

Einsetzen des xE1- und xE2-Wertes in die 2. Ableitung

f´´($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$

f´´(-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=+12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$

Die 2. Ableitungen sind nur definiert, wenn t$\ge$ 0 ist. t=0 ist auch schon ausgeschlossen, da wir sonst bei a nicht durch t hätten dividieren dürfen.

Das bedeutet, das es nur für t>0 Extrempunkte gibt. Die Art der Extrempunkte ergibt sich aus dem Wert der 2. Ableitung für t>0.

f´´($\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=-12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$   Hochpunkt

f´´(-$\sqrt{\frac{1}{2}t}$)=+12t$\cdot\sqrt{\frac{1}{2}t}$  >0  -> Tiefpunkt

Ergebnisse

HP ( $\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / $\sqrt{2t^5}$ ) für t > 0

TP ( -$\sqrt{\frac{1}{2}t}$ / -$\sqrt{2t^5}$ )  für t > 0

Kommentare zum Thema: Extrempunkte kubische Schar

  • Sven Hoberock schrieb am 09.03.2015 um 17:44 Uhr
    Hallo Tom, ich versuche es mal wie folgt zu erklären: Ich betrachte erstmal nur die vordere Hälfte bis zum Plus-Zeichen. Vorne steht ja der Faktor -2t und hinten steht der Faktor t^(3/2). Wenn ich jetzt das t aus -2t nach hinten schiebe, dann bleibt vorne die -2 und hinten muss ich t^(3/2) mit t multiplizieren und das ist dann t^((3/2)+1) also t^(5/2). Wenn ich die 2 aus -2 unter die Wurzel bringen will, muss es eine 4 werden. Konnte ich damit weiterhelfen? Siehst du damit auch schon, wie das Verfahren im hinteren Teil funktioniert? Bitte gib uns ansonsten gerne nochmal Bescheid.
  • Tom Holzinger schrieb am 09.03.2015 um 16:07 Uhr
    Wie kommt ihr beim 1.Beispiel, bei den y-Werten ausrechnen, auf t^5/2?
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Autor: Dr. Judith Frauendorf

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