Wendepunkte kubische Schar
Wendepunkte
Berechnung der Wendepunkte der Beispielfunktion f(x)=-2tx³+3t²x
a) x-Werte berechnen
Bedingung: f´´(x)=0
f(x)=-2tx³+3t²x
f´(x)=-6tx²+3t²
f´´(x)=-12tx
0=-12tx / : -12t (nur möglich wenn t nicht 0)
x=0
xW1=0
Es gibt also immer einen Wendepunkt wenn t $\neq0$.
Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$
b) y-Werte berechnen
Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion
yW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0
Ergebnis: yW1=0
c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitung
f´´´(x)=-12t
f´´´(xW1)=f´´´(0)=-12t (Da wir nichts in f´´´einsetzen können, weil kein x vorhanden ist, bleibt die Funktion so stehen.)
Die Art der Wendepunkte ergibt sich aus dem Wert der 3. Ableitung in Abhängigkeit von t.
für t > 0 ist f´´´(0) < 0 -> Links-Rechts-Wendepunkt
für t < 0 ist f´´´(0) > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt
Ergebnis:
für t > 0 ist ( 0 / 0 ) ein Links-Rechts-Wendepunkt
für t < 0 ist ( 0 / 0 ) ein Rechts-Links-Wendepunkt
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