Kurvenschar Wurzel 1
Besonderheiten von Kurvenscharen / Klassifizierung von Kurvenscharen
Beispiel
f(x)=-2x²-4tx-8=0
1. Umformen zur Normalform (:-2)
0=x²+2tx+4
Nullstellen mit p-q-Formel berechnen
p=2t q=4 Bestimmen von p und q
$x_{1,2}$=-$\frac{2t}{2} \pm \sqrt {(\frac{2t}{2})^2-4)}$
$x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$
Die Nullstellen lassen sich jetzt nicht weiter zusammenfassen.
Anhand dieser Nullstellen wird die Kurvenschar nun in Abhängigkeit von t klassifiziert. Bei jeder Wurzel gibt es drei Lösungsmöglichkeiten in Abhängigkeit der Diskriminante D (Term unter der Wurzel):
- D = 0, das bedeutet es gibt eine Lösung
- D < 0, das bedeutet es gibt keine Lösung, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen darf.
- D > 0, das bedeutet es gibt 2 Lösungen.
Merke
Um diese Nullstellen zu klassifizieren musst du dir also die Diskriminante ansehen und entscheiden für welche t diese 0 ist.
Beispiel
$x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$
Die Diskriminante D=t²-4.
- D = 0, wenn t = 2.
- D < 0, wenn t < 2.
- D > 0, wenn t > 2.
Anhand dieser Unterteilung werden dann auch die Nullstellen klassifiziert:
- Es gibt 1 Nullstelle für t = 2, x=-t (da $\sqrt{D}=\sqrt{0}=0$).
- Es gibt keine Nullstelle für t < 2.
- Es gibt 2 Nullstellen für t > 2, $x_{1,2}$=-t $\pm \sqrt {t²-4}$
In dem Applet siehst du nochmal die Veränderung der Nullstellen bei Veränderung von t.
Hinweis:
Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.
Dieses Dokument Kurvenschar Wurzel 1 ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).
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