lineare Substitution
Die lineare Substitution musst immer angewendet werden, wenn eine Funktion vorliegt, die mit einer linearen Funktion verkettet ist. Sie ist verwandt mit der Kettenregel beim Ableiten.
Die lineare Substitution kann bei jeder Art von verketteter Funktion vorkommen, z.B. Polynomfunktionen, e-Funktionen, Wurzelfunktionen oder trigonometrische Funktionen.
Beispiel
f(x)=(2x+1)² oder f(x)=$\sqrt{-3x}$
Merke
Regel zur linearen Substitution:
$\int{}{}f(mx+b)dx=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$
Methode
Berechnung von $\int{}{}(2x+1)²dx$
- Substitution der inneren Funktion 2x+1 durch v -> $\int{}{}v²dv$
- Bestimmung von m, hier m=2
- Integral der äußeren Funktion v² berechnen
F(2x+1)=F(v)=$\int{}{}v²dv=\frac{1}{3}v^3$ - Resubstitution der inneren Funktion v durch 2x+1
F(2x+1)=$\frac{1}{3}\cdot(2x+1)^3$ - Ergebnis: $\int{}{}(2x+1)²dx$
$=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$
$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x+1)^3+C$
Methode
Berechnung von $\int{}{}\sqrt{-3x}dx=\int{}{}(-3x)^{\frac{1}{2}}dx$
- Substitution der inneren Funktion -3x durch v -> $\int{}{}v^{\frac{1}{2}}dv$
- Bestimmung von m, hier m=-3
- Integral der äußeren Funktion $v^{\frac{1}{2}}$ berechnen
F(-3x)=F(v)=$\int{}{}v^{\frac{1}{2}}dv=\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}$ - Resubstitution der inneren Funktion v durch -3x
F(-3x)=$\frac{2}{3}\cdot(-3x)^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{(-3x)^3}$ - Ergebnis: $\int{}{}(-3x)^{\frac{1}{2}}dx$
$=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$
$=\frac{1}{-3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{(-3x)^3}+C$
$=-\frac{2}{9}\cdot \sqrt{(-3x)^3}+C$
In dem nachfolgenden Video muss die lineare Substitution in einer Abituraufgabe angewendet werden.
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