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lineare Substitution

Die lineare Substitution musst immer angewendet werden, wenn eine Funktion vorliegt, die mit einer linearen Funktion verkettet ist. Sie ist verwandt mit der Kettenregel beim Ableiten.

Die lineare Substitution kann bei jeder Art von verketteter Funktion vorkommen, z.B. Polynomfunktionen, e-Funktionen, Wurzelfunktionen oder trigonometrische Funktionen.

Beispiel

f(x)=(2x+1)² oder f(x)=$\sqrt{-3x}$

Merke

Regel zur linearen Substitution:

$\int{}{}f(mx+b)dx=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$

Methode

Berechnung von $\int{}{}(2x+1)²dx$

  1. Substitution der inneren Funktion 2x+1 durch v  ->  $\int{}{}v²dv$
  2. Bestimmung von m, hier m=2
  3. Integral der äußeren Funktion v² berechnen
    F(2x+1)=F(v)=$\int{}{}v²dv=\frac{1}{3}v^3$
  4. Resubstitution der inneren Funktion v durch 2x+1
    F(2x+1)=$\frac{1}{3}\cdot(2x+1)^3$
  5. Ergebnis: $\int{}{}(2x+1)²dx$
    $=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$
    $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x+1)^3+C$

Methode

Berechnung von $\int{}{}\sqrt{-3x}dx=\int{}{}(-3x)^{\frac{1}{2}}dx$

  1. Substitution der inneren Funktion -3x durch v  ->  $\int{}{}v^{\frac{1}{2}}dv$
  2. Bestimmung von m, hier m=-3
  3. Integral der äußeren Funktion $v^{\frac{1}{2}}$ berechnen
    F(-3x)=F(v)=$\int{}{}v^{\frac{1}{2}}dv=\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}$
  4. Resubstitution der inneren Funktion v durch -3x
    F(-3x)=$\frac{2}{3}\cdot(-3x)^{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{(-3x)^3}$
  5. Ergebnis: $\int{}{}(-3x)^{\frac{1}{2}}dx$
    $=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$
    $=\frac{1}{-3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \sqrt{(-3x)^3}+C$
    $=-\frac{2}{9}\cdot \sqrt{(-3x)^3}+C$

In dem nachfolgenden Video muss die lineare Substitution in einer Abituraufgabe angewendet werden.

Video: lineare Substitution

Hier wird die Integration mit Hilfe der linearen Substitution erläutert. Außerdem wird eine Abituraufgabe in einem Video vorgestellt.
Multiple-Choice
Kreuze die richtige Antwort an.
$\int{}{}\frac{-4}{(x-2)³}dx=$



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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

Bild von Autor Dr. Judith Frauendorf

Autor: Dr. Judith Frauendorf

Dieses Dokument lineare Substitution ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Grundlagen der Analysis (Analysis 1).

Dr. Judith Frauendorf verfügt über langjährige Erfahrung auf diesem Themengebiet.
Vorstellung des Online-Kurses Grundlagen der Analysis (Analysis 1)Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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  • Gute Bewertung für Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

    Ein Kursnutzer am 03.11.2014:
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