Von der Summe zum Integral
Um den Flächeninhalt der Fläche unter eine Kurve zu berechnen wird die Fläche in gleichbreite Rechtecke geteilt. Der Flächeninhalt jedes Rechteckes läst sich leicht mit Breite*Höhe berechnen. Alle Rechtecke aufsummiert ergibt den gesamten Flächeninhalt unter der Kurve.
Die Rechtecke können sich entweder über oder unter Kurve befinden. Es wird daher oft von OberSummen und Untersummen gesprochen.
An dem Applet kanst du ausprobieren, was passiert, wenn sich die Anzahl der Rechtecke verändert. Links unten ist auch ein Button zum automatischen Abspielen.
Der Grenzwert der Obersummen und Untersummen, bei großen n wird als Integral bezeichnet. Das Integralzeichnen ergibt sich aus dem Summenzeichen, als langgestrecktes S.
b ist die Breite eines Rechtecks.
$$\lim_{n\to \infty} U(n)=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n f(k\cdot b)\cdot b= \int_{0}^{10}{ f(x) dx } =\int_{0}^{10}{ f(x) dx } $$
$$\lim_{n\to \infty} O(n)=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f(k\cdot b)\cdot b= \int_{0}^{10}{ f(x) dx } =\int_{0}^{10}{ f(x) dx } $$
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