Die Integralrechung im Abitur
Auch im Abitur können Aufgaben drankommen, bei denen nicht gerechnet sondern nur graphisch begründet werden soll.
Eine Original-Abituraufgabe sah z.B so aus:
Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f.
F ist eine Stammfunktion von f.
Begründen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind:
- F ist im Bereich $–3\le x \le 1$ monoton wachsend.
- f ' hat im Bereich $–3,5 \le x \le 3,5$ drei Nullstellen.
- $\int_{0}^{3}{ f´(x) dx }=-1$
- O (0 | 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f '.
Die Teilaufgaben 1 und 3 haben direkt mit der Integralrechnung zu tun, diese wollen wir hier deshalb auch näher behandeln.
Lösungen der original Abituraufgabe
Bevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (1) und (3) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Integrieren.
Lösung zur Aufgabe (1)
Lösung zur Aufgabe (3)
Ergänzung zu den Teilaufgaben (2) und (4):
(2): Da f im gezeigten Bereich drei Stellen mit waagerechten Tangenten hat, ist an diesen Stellen die Steigung Null. Die Ableitungsfunktion muss dort also Nullstellen haben.
(4): Die Nullstelle der Ableitungsfunktion f' bei x=0 muss Hochpunkt der Ableitungsfunktion sein, denn direkt vor und nach dieser Stelle ist die Steigung von f negativ, der Graph von f' befindet sich also unterhalb der x-Achse. Nur an der Stelle x=0 muss ja auch f'(0)=0 gelten (siehe Teil (2)), der Graph berührt dort also die x-Achse und hat dort deshalb ein lokales Maximum!
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